Ο πίνακας αλήθειας ή ο πίνακας αλήθειας είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρέως στον τομέα της λογικής συλλογιστικής. Στόχος του είναι να επαληθεύσει τη λογική εγκυρότητα μιας σύνθετης πρότασης (επιχείρημα που σχηματίζεται από δύο ή περισσότερες απλές προτάσεις).
Παραδείγματα σύνθετων προτάσεων:
- Ο Τζον είναι ψηλός και Η Μαρία είναι κοντή.
- Ο Πέτρος είναι ψηλός ή Η Joana είναι ξανθιά.
- αν Ο Πέτρος είναι ψηλός, έπειτα Η Joan είναι κοκκινομάλλα.
Κάθε μία από τις παραπάνω σύνθετες προτάσεις σχηματίζεται από δύο απλές προτάσεις που ενώνονται με τα τολμηρά συνδετικά. Κάθε απλή πρόταση μπορεί να είναι αληθινή ή ψευδής και αυτό θα συνεπάγεται άμεσα τη λογική τιμή της σύνθετης πρότασης. Αν υιοθετήσουμε τη φράση "Ο John είναι ψηλός και η Mary είναι κοντή", Οι πιθανές αποτιμήσεις αυτής της δήλωσης θα είναι:
- Εάν ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή, η φράση «Ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή» είναι ΑΛΗΘΕΙΑ.
- Εάν ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι κοντή, η φράση «Ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή» είναι ΛΑΘΟΣ.
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή, η φράση «Ο Γιάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή» είναι ΛΑΘΟΣ.
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι κοντή, η φράση «Ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι κοντή» είναι ΛΑΘΟΣ.
Ο πίνακας αλήθειας περιγράφει την ίδια συλλογιστική (βλέπε θέμα Σύνδεση παρακάτω) πιο άμεσα. Επιπλέον, μπορούν να εφαρμοστούν κανόνες πινάκων αλήθειας. ανεξάρτητα από τον αριθμό των προτάσεων στην πρόταση.
Πως δουλεύει?
Αρχικά, μετατρέψτε τις προτάσεις της ερώτησης σε σύμβολα που χρησιμοποιούνται στη λογική. Η λίστα των καθολικά χρησιμοποιούμενων συμβόλων είναι:
| Σύμβολο | Λογική λειτουργία | Εννοια | Παράδειγμα |
|---|---|---|---|
| Π | . | Πρόταση 1 | p = Ο John είναι ψηλός. |
| τι | . | Πρόταση 2 | q = Η Μαρία είναι σύντομη. |
| ~ | Αρνηση | όχι | Αν ο Τζον είναι ψηλός, "~ σ" είναι ψεύτικο. |
| ^ | Σύνδεση | και | Π^τι = Ο John είναι ψηλός και η Mary είναι κοντή. |
| β | Διαχώριση | ή | Πβq = Ο John είναι ψηλός ή η Mary είναι κοντή. |
| → | Υποθετικός | αν τότε | Π→τι = Αν ο John είναι ψηλός τότε η Mary είναι κοντή. |
| ↔ | υπό όρους | αν και μόνο αν | Π↔q = Ο Τζον είναι ψηλός αν και μόνο αν η Μαρία είναι κοντή. |
Στη συνέχεια, συγκεντρώνεται ένας πίνακας με όλες τις δυνατότητες αποτίμησης μιας σύνθετης πρότασης, αντικαθιστώντας τις δηλώσεις με σύμβολα. Αξίζει να διευκρινιστεί ότι σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν περισσότερες από δύο προτάσεις, μπορεί να συμβολίζονται με τα γράμματα ρ, μικρό, και ούτω καθεξής.
Τέλος, εφαρμόζεται η λογική λειτουργία που ορίζεται από τον συνδετήρα που εμφανίζεται. Όπως αναφέρεται παραπάνω, αυτές οι λειτουργίες μπορεί να είναι: άρνηση, σύζευξη, αποσύνδεση, υπό όρους και υπό όρους.
Αρνηση
Η άρνηση συμβολίζεται με ~. Η λογική λειτουργία της άρνησης είναι η απλούστερη και συχνά δεν απαιτεί τη χρήση του πίνακα αλήθειας. Ακολουθώντας το ίδιο παράδειγμα, αν ο John είναι ψηλός (p) λέγοντας ότι ο John δεν είναι ψηλός (~ p) είναι FALSE και αντίστροφα.
Σύνδεση
Η σύζευξη συμβολίζεται με ^. Το παράδειγμα "Ο John είναι ψηλός και η Mary είναι κοντή" θα συμβολιστεί με "p^q "και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Ο συνδυασμός προτείνει μια ιδέα συσσώρευσης, οπότε αν μία από τις απλές προτάσεις είναι ψευδής, είναι αδύνατο για τη σύνθετη πρόταση να είναι αληθινή.
συμπέρασμα: οι προτάσεις συνδετικών ενώσεων (που περιέχουν το συνδετικό και) θα ισχύει μόνο όταν όλα τα στοιχεία του είναι αληθή.
Παράδειγμα:
- Ο Πάολο, ο Ρενάτο και ο Τούλιο είναι καλοί και η Καρολίνα είναι αστεία. - Εάν ο Πάολο, ο Ρενάτο ή ο Τούλιο δεν είναι καλοί ή η Καρολίνα δεν είναι αστεία, η πρόταση θα είναι ΛΑΘΗ. Είναι απαραίτητο αυτό όλα οι πληροφορίες είναι αληθινές για να είναι η σύνθετη πρόταση Αληθινή.
Διαχώριση
Η διάσπαση συμβολίζεται με β. Αλλαγή του συνδετικού από το παραπάνω παράδειγμα σε ή θα έχουμε "ο John είναι ψηλός ή η Mary είναι κοντή". Σε αυτήν την περίπτωση, η φράση θα συμβολιστεί με "pβq "και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Η διάσπαση συνεπάγεται μια ιδέα εναλλαγής, επομένως, αρκεί μια από τις απλές προτάσεις να ισχύει και για το σύνθετο.
συμπέρασμα: οι αποσυνδετικές σύνθετες προτάσεις (που περιέχουν το συνδετικό ή) θα είναι ψευδής μόνο όταν όλα τα στοιχεία του είναι ψευδώς.
Παράδειγμα:
- Η μαμά, ο μπαμπάς ή ο θείος μου θα μου δώσουν ένα δώρο. - Για να είναι η δήλωση αληθινή, αρκεί μόνο ένας από τη μητέρα, τον πατέρα ή τον θείο να δώσει το δώρο. Η πρόταση θα είναι ΛΑΘΗ μόνο εάν καμία από αυτές δεν την δώσει.
Υποθετικός
Ο υπό όρους συμβολίζεται με →. Εκφράζεται από τα συνδετικά αν και έπειτα, που διασυνδέουν τις απλές προτάσεις σε μια αιτιώδη σχέση. Το παράδειγμα "Αν ο Πάολο είναι από το Ρίο ντε Τζανέιρο, τότε είναι Βραζιλιάνος" γίνεται "σελ→q "και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Οι υπό όρους έχουν μια προηγούμενη πρόταση και μια συνακόλουθη, χωρίζεται από το συνδετικό έπειτα. Κατά την ανάλυση των υπό όρους, είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί σε ποιες περιπτώσεις η πρόταση μπορεί να είναι δυνατό, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση εμπλοκής μεταξύ του προηγούμενου και του επακόλουθου.
συμπέρασμα: Προϋπόθεση σύνθετων προτάσεων (που περιέχουν τα συνδετικά αν και έπειτα) θα είναι ψευδής μόνο εάν η πρώτη πρόταση είναι αληθής και η δεύτερη ψευδής.
Παράδειγμα:
- Εάν ο Πάολο είναι από το Ρίο, τότε είναι Βραζιλιάνος. - Για να θεωρηθεί αυτή η πρόταση Αληθινή, είναι απαραίτητο να αξιολογηθούν οι περιπτώσεις στις οποίες είναι ΠΙΘΑΝΟ. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα αλήθειας, έχουμε:
- Ο Πάολο είναι από το Ρίο / ο Πάολο είναι Βραζιλιάνος = ΠΙΘΑΝΟ
- Ο Πάολο είναι από το Ρίο ντε Τζανέιρο / ο Πάολο δεν είναι Βραζιλιάνος = ΑΔΥΝΑΤΟ
- Ο Πάολο δεν είναι από το Ρίο / ο Πάολο είναι Βραζιλίας = ΠΙΘΑΝΟ
- Το Paulo δεν είναι carioca / ο Paulo δεν είναι Brazilian = ΠΙΘΑΝΟ
υπό όρους
Η αμφίδρομη συμβολίζεται με ↔. Διαβάζεται μέσω των συνδετικών αν και μόνο εάν, που διασυνδέουν τις απλές προτάσεις σε σχέση ισοδυναμίας. Το παράδειγμα "Ο Τζον είναι ευτυχισμένος αν και μόνο αν η Μαρία χαμογελάει." γίνεται "σ↔q "και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Οι διϋπόντες προτείνουν μια ιδέα αλληλεξάρτησης. Όπως καταδεικνύει το όνομα, η διϋπόθεση αποτελείται από δύο όρους: έναν που ξεκινά από Π Για τι (Π→q) και ένα άλλο στην αντίθετη κατεύθυνση (q→Π).
συμπέρασμα: Στις αμφίδρομες προτάσεις σύνθετων (που περιέχουν τα συνδετικά αν και μόνο εάν) θα ισχύει μόνο όταν όλες οι προτάσεις είναι αληθείς ή όλες οι προτάσεις είναι ψευδείς.
Παράδειγμα:
- Ο João είναι χαρούμενος αν και μόνο αν η Μαρία χαμογελά. - Αυτό σημαίνει ότι:
- Εάν ο Ιωάννης είναι ευτυχισμένος, η Μαρία χαμογελά και αν η Μαρία χαμογελάει, ο Τζον είναι ευτυχισμένος = ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι ευτυχισμένος, η Μαρία δεν χαμογελά και αν η Μαρία δεν χαμογελά, ο Ιωάννης δεν είναι ευτυχισμένος = ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ
- Εάν ο João είναι ευτυχισμένος, η Μαρία δεν χαμογελάει = ΛΑΘΟΣ
- Εάν ο João δεν είναι χαρούμενος, η Μαρία χαμογελά = ΛΑΘΟΣ
ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ
Είναι κοινό για τους μελετητές του πίνακα αλήθειας να απομνημονεύουν τα συμπεράσματα κάθε μιας από τις λογικές πράξεις. Για να εξοικονομήσετε χρόνο κατά την επίλυση προβλημάτων, έχετε πάντα υπόψη σας ότι:
- Συνδυαστικές προτάσεις: Θα ισχύουν μόνο όταν όλα τα στοιχεία είναι αληθή.
- Αποσυνδετικές προτάσεις: Θα είναι ψευδές μόνο όταν όλα τα στοιχεία είναι ψευδή.
- Υπό όρους προτάσεις: Θα είναι ψευδείς μόνο όταν η πρώτη πρόταση είναι αληθής και η δεύτερη ψευδής.
- Δικαιολογημένες προτάσεις: Θα ισχύει μόνο όταν όλα τα στοιχεία είναι αληθινά ή όλα τα στοιχεία είναι ψευδή.