Αριθμητική Πρόοδος, επίσης γνωστή ως P. Α, είναι ένας τύπος αριθμητικής ακολουθίας που μελετάται από τα Μαθηματικά, όπου κάθε όρος ή στοιχείο που ξεκινά από το δεύτερο είναι ίσο με το άθροισμα του προηγούμενου όρου με μια σταθερά.
Σε αυτόν τον τύπο αριθμητικής ακολουθίας, ο αριθμός καλείται πάντα ο λόγος (που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα r) και λαμβάνεται με τη διαφορά ενός όρου στην ακολουθία από τον προηγούμενο.
Στη συνέχεια, ξεκινώντας από το δεύτερο στοιχείο της ακολουθίας, όλοι οι αριθμοί θα προκύψουν από το άθροισμα της σταθεράς με την τιμή του προηγούμενου στοιχείου.
Για παράδειγμα, η ακολουθία 5,7,9,11,13,15,17 μπορεί να χαρακτηριστεί ως αριθμητική εξέλιξη, καθώς τα στοιχεία της σχηματίζονται από το άθροισμα του προκατόχου της με τη σταθερά 2.
Τύποι αριθμητικών εξελίξεων
Για την καλύτερη κατανόηση αυτής της έννοιας, παρακάτω είναι παραδείγματα των θεωρούμενων τύπων αριθμητικών εξελίξεων.
- (5,5,5,5,5... an) Πεπερασμένη αναλογία PA 0
- (4,7,10,13,16... an ...) Απεριόριστος PA με αναλογία 3
- (70,60,50,40,30... an) Πεπερασμένη PA με αναλογία -10
Στα τρία παραδείγματα, παρατηρείται ότι για τον υπολογισμό της αναλογίας BP, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η διαφορά μεταξύ ενός από τους όρους και του όρου που προηγείται, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
Τύποι του γενικού όρου και το άθροισμα της αριθμητικής εξέλιξης
Υπό αυτήν την έννοια, ο τύπος που χρησιμοποιείται που χαρακτηρίζει τον γενικό όρο ενός AP αντιπροσωπεύεται ως εξής:
Πού έχουμε:
an = Γενικός όρος
a₁ = Πρώτος όρος στη σειρά.
n = Αριθμός όρων σε P.A. ή θέση αριθμητικού όρου σε P.A.
r = λόγος
Ωστόσο, εάν έχουμε κάποιο πεπερασμένο P.A, για να προσθέσουμε τους όρους του (στοιχεία), θα φτάσουμε στον ακόλουθο τύπο για να προσθέσουμε τα n στοιχεία ενός πεπερασμένου P.A.
Πού έχουμε:
Sn = Άθροισμα των πρώτων n όρων της PA
a₁ = Πρώτη θητεία της ΠΑ
an = Καταλαμβάνει την ένατη θέση στην ακολουθία
n = Θέση όρου
Ταξινόμηση αριθμητικών εξελίξεων
Όσον αφορά τις ταξινομήσεις, η αριθμητική πρόοδος μπορεί να αυξάνεται, να μειώνεται και να είναι σταθερή.
Ένα PA θα είναι αυξάνεται όταν ο λόγος (r) είναι θετικός, δηλαδή μεγαλύτερος από το μηδέν (r> 0). Η αριθμητική ακολουθία θα αυξάνεται όταν κάθε όρος από το δεύτερο είναι μεγαλύτερο από τον προκάτοχό του. Π.χ.: (1, 3, 5, 7, ...) είναι ένα αυξανόμενο P.A του λόγου 2.
Το PA θα είναι μειώνεται εάν η αναλογία (r) είναι αρνητική, δηλαδή μικρότερη από μηδέν (r <0). Η αριθμητική ακολουθία θα φθίνει όταν κάθε όρος από το δεύτερο είναι μικρότερος από τον προκάτοχό του. Π.χ.: (15, 10, 5, 0, -5 ...) είναι ένα μειωμένο P.A της αναλογίας - 5.
Το PA θα είναι συνεχής όταν ο λόγος είναι μηδενικός, δηλαδή ισούται με μηδέν (r = 0). Όλοι οι όροι σας θα είναι οι ίδιοι. Π.χ.: (2, 2, 2, ...) είναι μια σταθερά P.A με αναλογία null.
Αριθμητική εξέλιξη και γεωμετρική εξέλιξη
Οι προόδους μελετώνται από τα μαθηματικά για να ορίσουν πραγματικούς διαδοχικούς αριθμούς, ωστόσο, υπάρχει μια διαφορά μεταξύ της αριθμητικής προόδου και της γεωμετρικής προόδου.
Ενώ η αριθμητική εξέλιξη παρουσιάζει την ακολουθία των αριθμών όπου οι αριθμητικές διαφορές μεταξύ ενός όρου και το προηγούμενο είναι σταθερό, στη γεωμετρική εξέλιξη η σταθερά προέρχεται από το πηλίκο αυτού του όρου και του προκάτοχος.
Δείτε επίσης την έννοια του Γεωμετρική εξέλιξη.