Άθροισμα εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου

Εσείς κυρτά πολύγωνα είναι αυτά που δεν έχουν κοιλότητα. Για να δούμε αν ένα πολύγωνο είναι κυρτό ή όχι, πρέπει να παρατηρήσουμε εάν οποιοδήποτε τμήμα ευθείας γραμμής με άκρα στο σχήμα δεν διέρχεται από την εξωτερική περιοχή.

Στα κυρτά πολύγωνα, υπάρχουν τύποι που επιτρέπουν τον προσδιορισμό του αθροίσματος των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών. Ολοκλήρωση παραγγελίας!

Άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου

Ο τύπος του άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου με n πλευρές είναι:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Επίδειξη:

Αν κοιτάξουμε, θα δούμε ότι κάθε κυρτό πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε έναν ορισμένο αριθμό τριγώνων. Δείτε μερικά παραδείγματα:

Έτσι, θυμόμαστε ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα ίσο με 180 °, μπορούμε να δούμε ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών σε αυτά τα σχήματα παραπάνω θα δοθεί από τον αριθμό των τριγώνων που η εικόνα θα μπορούσε να διαιρεθεί φορές 180 °:

τετράπλευρο: 2 τρίγωνα ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Πεντάγωνο: 3 τρίγωνα ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Εξάγωνο: 4 τρίγωνα ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Επομένως, για να λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του αθροίσματος των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, πρέπει απλώς να γνωρίζουμε, σε γενικές γραμμές, πόσα τρίγωνα μπορεί να χωριστεί ένα κυρτό πολύγωνο.

instagram story viewer

Αν παρατηρήσουμε, υπάρχει σχέση μεταξύ αυτής της ποσότητας και του αριθμού των πλευρών των σχημάτων. Ο αριθμός των τριγώνων είναι ίσος με τον αριθμό πλευρών του σχήματος μείον 2, δηλαδή:

$\ dpi {120} \ mathrm {Σύνολο \, από \, tri \ hat {a} angles = n - 2}$

Τετράπλευρο: 4 πλευρές ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Πεντάγωνο: 5 πλευρές ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Εξάγωνο: 6 πλευρές ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Έτσι, γενικά, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου δίνεται από: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Ποια είναι η φόρμουλα που θέλαμε να δείξουμε.

Παράδειγμα:

Βρείτε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού icosagon.

Ένα icosagon είναι ένα πολύγωνο 20 όψεων, δηλαδή n = 20. Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στον τύπο:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Επομένως, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού icosagon είναι ίσο με 3240 °.

Άθροισμα εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου

Ο άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι πάντα ίσο με 360 °, δηλαδή:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Επίδειξη:

Δείτε μερικά δωρεάν μαθήματα

Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα εκπαίδευσης χωρίς αποκλεισμούς
Δωρεάν online βιβλιοθήκη παιχνιδιών και μάθημα εκμάθησης
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα προσχολικών μαθηματικών
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα παιδαγωγικών πολιτιστικών εργαστηρίων

Θα δείξουμε με παραδείγματα ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου δεν εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος και είναι πάντα ίσο με 360 °.

Τετράπλευρο:

τετράπλευρο Σημειώστε ότι κάθε εσωτερική γωνία σχηματίζει γωνία 180 ° με την εξωτερική γωνία. Έτσι, δεδομένου ότι υπάρχουν τέσσερις κορυφές, το άθροισμα όλων των γωνιών δίνεται από το 4. 180° = 720°.

Δηλαδή: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Σύντομα:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Μια φορά $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , έπειτα:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Πεντάγωνο:

Στο πεντάγωνο, έχουμε 5 κορυφές, έτσι το άθροισμα όλων των γωνιών δίνεται από το 5. 180° = 900°. Σύντομα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Επειτα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Μια φορά $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , έπειτα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Εξάγωνο:

Στο εξάγωνο, έχουμε 6 κορυφές, έτσι το άθροισμα όλων των γωνιών δίνεται από το 6. 180° = 1080°. Σύντομα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Επειτα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Μια φορά $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , έπειτα: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Όπως μπορείτε να δείτε, και στα τρία παραδείγματα, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , είχε ως αποτέλεσμα 360 °.

Παράδειγμα:

Το άθροισμα των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου ισούται με 1800 °. Τι είναι αυτό το πολύγωνο;

Εχουμε: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Γνωρίζοντας αυτό σε οποιοδήποτε πολύγωνο $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , τότε έχουμε: