Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Στα μαθηματικά ή τη φυσική, το διανύσματα αυτοί είναι ευθεία τμήματα με κατεύθυνση, κατεύθυνση και μήκος, τα οποία χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύουν ποσότητες όπως δύναμη, ταχύτητα και επιτάχυνση.

Τα διανύσματα δείχνουν τροχιές και μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας ένα σύστημα συντεταγμένων (x, y). Λαμβάνοντας υπόψη το σημείο (0,0) ως την προέλευση του τμήματος, το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα διάνυσμα $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ το τέλος του οποίου είναι το σημείο $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Σημειογραφία: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

ο χειροτονισμένος $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ ονομάζεται οριζόντιο στοιχείο και η τετμημένη $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , κάθετου συστατικού.

Τώρα σκεφτείτε, εκτός από το διάνυσμα $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , ένα άλλο διάνυσμα $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ και μια γωνία σχηματίζεται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αυτή η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί με έναν τύπο που περιλαμβάνει το προϊόν κουκκίδων μεταξύ των διανυσμάτων και τον κανόνα (μήκος) κάθε φορέα.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Δύο ζάρια διάνυσμα $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ και $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , το συνημίτονο της γωνίας $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ μεταξύ αυτών σχετίζεται με το εσωτερικό προϊόν μεταξύ των διανυσμάτων και των προτύπων τους ως εξής:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Ο αριθμητής του κλάσματος είναι το εσωτερικό προϊόν μεταξύ των διανυσμάτων, που δίνεται από:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

Και ο παρονομαστής είναι το προϊόν μεταξύ των προτύπων καθενός από τα διανύσματα, ως εξής:

Δείτε μερικά δωρεάν μαθήματα

Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα χωρίς αποκλεισμούς
Δωρεάν online βιβλιοθήκη παιχνιδιών και μάθημα εκμάθησης
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα μαθηματικών μαθημάτων στην παιδική ηλικία
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα παιδαγωγικών πολιτιστικών εργαστηρίων

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Κάνοντας την αντικατάσταση, επαληθεύσαμε ότι το τύπος γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ και $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Εφαρμόζοντας τις τιμές στον τύπο, πρέπει:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ αριστερά (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ δεξιά)}$

Χρήση αριθμομηχανής ή a τριγωνομετρικός πίνακας, μπορούμε να δούμε ότι:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}$

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

Τόξα με περισσότερες από μία στροφές
Τόξα και κυκλική κίνηση
τριγωνομετρικός κύκλος
ταχύτητα ενός οχήματος

Ο κωδικός πρόσβασης έχει σταλεί στο email σας.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Σχέδιο μαθημάτων ζυγών αριθμών

Προέλευση της πορτογαλικής γλώσσας

Ορυκτά καύσιμα: Η ενέργεια που κινεί τον κόσμο