Ο Χαρακτηρίζεται η εξίσωση 2ου βαθμού για ενα πολυώνυμος του βαθμού 2, δηλαδή ένα πολυώνυμο τύπου ax2+ bx + c, όπου ο, σι και ντο αυτοί είναι πραγματικοί αριθμοί. Κατά την επίλυση μιας εξίσωσης βαθμού 2, μας ενδιαφέρει να βρούμε τιμές για το άγνωστο. Χ που κάνει την τιμή της έκφρασης ίση με 0, που ονομάζονται ρίζες, δηλαδή, ax2 + bx + c = 0.
Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης
Τύποι εξισώσεων 2ου βαθμού
Η εξίσωση 2ου βαθμού μπορεί να είναι αντιπροσωπεύεται από ax² + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές ο, σι και ντο είναι πραγματικοί αριθμοί, με ο ≠ 0.
→ Παραδείγματα
α) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 και c = - 6
β) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 και c = 2
γ) 0,5χ2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 και c = -1
Η εξίσωση 2ου βαθμού ταξινομείται ως πλήρης όταν όλοι οι συντελεστές είναι διαφορετικοί από το 0, δηλαδή, ο ≠ 0, σι ≠ 0 και ντο ≠ 0.
Η εξίσωση 2ου βαθμού ταξινομείται ως ατελής όταν η τιμή των συντελεστών σι ή ντο είναι ίσο με 0, δηλαδή, b = 0 ή c = 0.
→ Παραδείγματα
α) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 και c = - 4
β) -χ2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 και c = 0
γ) x2 = 0 → α = 1; b = 0 και c = 0
Προσοχή: η τιμή συντελεστή ο δεν είναι ποτέ ίσο με 0, εάν συμβεί αυτό, η εξίσωση δεν είναι πλέον 2ος βαθμός.
Πώς να λύσετε εξισώσεις 2ου βαθμού;
Η λύση μιας εξίσωσης 2ου βαθμού εμφανίζεται όταν το ρίζες βρίσκονται, δηλαδή, οι τιμές που έχουν εκχωρηθεί Χ. Αυτές οι τιμές του Χ πρέπει να κάνει την ισότητα αληθινή, δηλαδή, αντικαθιστώντας την τιμή του Χ στην έκφραση, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ίσο με 0.
→ Παράδειγμα
Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση x2 - 1 = 0 έχουμε ότι x '= 1 και x' '= - 1 είναι λύσεις της εξίσωσης, επειδή αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην έκφραση, έχουμε μια πραγματική ισότητα. Κοίτα:
Χ2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 και (–1)2 – 1 = 0
Για να βρείτε τη λύση ενός εξίσωση, είναι απαραίτητο να αναλυθεί εάν η εξίσωση είναι πλήρης και ελλιπής και επιλέξτε ποια μέθοδος θα χρησιμοποιηθεί.
Μέθοδος λύσης για εξισώσεις τύπου ax²+ γ = 0
Η μέθοδος για τον προσδιορισμό της λύσης των ελλιπών εξισώσεων που έχουν σι=0συνίσταται στην απομόνωση του άγνωστου Χ, έτσι:
→ Παράδειγμα
Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 3x2 – 27 = 0.
Εάν θέλετε να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτήν τη μέθοδο, μεταβείτε στη διεύθυνση: Ημιτελής εξίσωση 2ου βαθμού με μηδενικό συντελεστή β.
Μέθοδος λύσης για εξισώσεις τύπου τσεκούρι2 + bx = 0
Η μέθοδος για τον προσδιορισμό των πιθανών λύσεων μιας εξίσωσης με ντο = 0, αποτελείται από τη χρήση του factoring αποδεικτικών στοιχείων. Κοίτα:
τσεκούρι2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Όταν κοιτάζουμε την τελευταία ισότητα, είναι αξιοσημείωτο ότι υπάρχει πολλαπλασιασμός και ότι για το αποτέλεσμα να είναι 0, είναι απαραίτητο τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες να είναι ίσος με 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 ή ax + b = 0
Έτσι, η λύση στην εξίσωση δίνεται από:
→ Παράδειγμα
Προσδιορίστε τη λύση της εξίσωσης 5χ2 - 45x = 0
Εάν θέλετε να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτήν τη μέθοδο, μεταβείτε στη διεύθυνση: ελλιπής εξίσωση 2ου βαθμού με μηδενικό συντελεστή γ.
Μέθοδος λύσης για πλήρεις εξισώσεις
Η μέθοδος γνωστή ως Μέθοδος Bhaskara ή Φόρμουλα Bhaskara επισημαίνει ότι οι ρίζες μιας εξίσωσης 2ου βαθμού τύπου ax2 + bx + c = 0 δίνεται από την ακόλουθη σχέση:
→ Παράδειγμα
Προσδιορίστε τη λύση της εξίσωσης Χ2 - x - 12 = 0.
Σημειώστε ότι οι συντελεστές στην εξίσωση είναι: α = 1; σι= - 1 και ντο = – 12. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο της Bhaskara, έχουμε:
Το δέλτα (Δ) έχει το όνομά του οξυδερκής και παρατηρήστε ότι είναι μέσα σε ένα τετραγωνική ρίζα και, όπως γνωρίζουμε, λαμβάνοντας υπόψη τους πραγματικούς αριθμούς, δεν είναι δυνατή η εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού.
Γνωρίζοντας την αξία του διακριτικού, μπορούμε να κάνουμε κάποιες δηλώσεις σχετικά με τη λύση της εξίσωσης 2ου βαθμού:
→ θετικός διακριτικός (Δ> 0): δύο λύσεις στην εξίσωση.
→ διακριτικό ίσο με μηδέν (Δ = 0): επαναλαμβάνονται οι λύσεις της εξίσωσης.
→ αρνητικός διακριτικός (Δ <0): δεν αναγνωρίζει πραγματική λύση.
Συστήματα εξισώσεων δεύτερου βαθμού
Όταν εξετάζουμε ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες εξισώσεις, έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων. Η λύση ενός συστήματος 2 μεταβλητών είναι το σύνολο παραγγελιών ζευγαριών που ταυτόχρονα ικανοποιεί όλες τις σχετικές εξισώσεις.
→ Παράδειγμα
Εξετάστε το σύστημα:
Με τις τιμές: x ’= 2, x’ ’= - 2 και y’ = 2, y ’’ = - 2 μπορούμε να συναρμολογήσουμε ταξινομημένα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις συστήματος ταυτόχρονα. Βλέπε: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Θυμηθείτε ότι ένα ζεύγος που έχει παραγγείλει είναι γραμμένο στη φόρμα (x, y).
Οι μέθοδοι για την εξεύρεση λύσης ενός συστήματος εξισώσεων είναι παρόμοιες με εκείνες του γραμμικά συστήματα.
→ Παράδειγμα
Εξετάστε το σύστημα:
Από την εξίσωση x - y = 0, ας απομονώσουμε το άγνωστο Χ, έτσι:
x - y = 0
x = ε
Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε την απομονωμένη τιμή στην άλλη εξίσωση, όπως αυτή:
Χ2 - x –12 = 0
γ2 - y –12 = 0
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Bhaskara, πρέπει:
Δεδομένου ότι x = y, θα έχουμε x ’= y’ και x ’’ = y ’’. Δηλαδή:
x ’= 4
x ’’ = -3
Έτσι, τα ταξινομημένα ζεύγη είναι λύσεις του συστήματος (4, 4) και (- 3, - 3).
Διαβάστε περισσότερα: Σύστημα εξισώσεων 1ου και 2ου βαθμού
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - (ESPM -SP) Οι παρακάτω λύσεις στην εξίσωση είναι δύο αριθμοί
α) ξαδέρφια.
β) θετικό.
γ) αρνητικό.
δ) ζευγάρια.
ε) περίεργο.
Λύση
Γνωρίζουμε ότι οι παρονομαστές ενός κλάσματος δεν μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν, επομένως x ≠ 1 και x ≠ 3. Και δεδομένου ότι έχουμε μια ισότητα κλασμάτων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε πολλαπλά, λαμβάνοντας:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
Χ2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
Χ2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2χ2 - 8x - 10 = 0
Διαιρώντας τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2, έχουμε:
Χ2 - 4x - 5 = 0
Χρησιμοποιώντας τον τύπο της Bhaskara, προκύπτει ότι:
Σημειώστε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι περίεργοι αριθμοί.
Εναλλακτική e.
Ερώτηση 2 - (UFPI) Ένας κτηνοτρόφος διαπίστωσε ότι μετά την τοποθέτηση (n +2) πουλιών σε καθένα από τα n διαθέσιμα κλουβιά, θα απομείνει μόνο ένα πουλί. Ο συνολικός αριθμός πουλιών, για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, είναι πάντα
α) έναν ζυγό αριθμό.
β) μονός αριθμός.
γ) ένα τέλειο τετράγωνο.
δ) ένας αριθμός διαιρούμενος με 3.
ε) έναν πρώτο αριθμό.
Λύση
Ο αριθμός των πουλιών μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των πτηνών με τον αριθμό των πτηνών που τοποθετούνται σε κάθε ένα. από αυτούς, με τη δήλωση της άσκησης μετά από αυτήν τη διαδικασία, απομένει ένα πουλί, μπορούμε να τα γράψουμε όλα παρακάτω τρόπος:
n · (n + 2) +1
Εκτελώντας τη διανομή θα λάβουμε:
όχι2 +2n +1
Και λαμβάνοντας υπόψη αυτό το πολυώνυμο, προκύπτει ότι:
(ν + 1)2
Έτσι, ο συνολικός αριθμός πουλιών είναι πάντα ένα τέλειο τετράγωνο για κάθε φυσικό αριθμό n.
Εναλλακτική Γ
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
