Οι νόμοι του Κέπλερ σε πλανητική κίνηση αναπτύχθηκαν μεταξύ 1609 και 1619 από τον Γερμανό αστρονόμο και μαθηματικό Γιοχάνες Κέπλερ. Οι τρεις νόμοι του Κέπλερ, χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν το τροχιές των πλανητών του Ηλιακό σύστημα, κατασκευάστηκαν με βάση ακριβείς αστρονομικές μετρήσεις, που ελήφθησαν από τον Δανό αστρονόμο. Τίτσο Μπρα.
Εισαγωγή στους νόμους του Κέπλερ
Συνεισφορές από Νικόλαος Κοπέρνικος στην περιοχή του αστρονομία έσπασε με το όραμα γεωκεντιστής του Σύμπαντος, που προέρχεται από το πλανητικό μοντέλο του Κλαούντιο Πτολεμαίο. Το μοντέλο που πρότεινε ο Copernicus, αν και περίπλοκο, επέτρεψε το προφητεία και το εξήγηση από τις τροχιές πολλών πλανητών, ωστόσο, είχε κάποια ελαττώματα, τα πιο δραματικά από τα οποία ήταν μια ικανοποιητική εξήγηση για την οπισθοδρομική τροχιά του Άρη κατά τη διάρκεια ορισμένων περιόδων του έτους.
Δείτε επίσης:ιστορία της αστρονομίας
Η επίλυση ανεξήγητων προβλημάτων από το πλανητικό μοντέλο του Κοπέρνικου ήρθε μόνο τον 17ο αιώνα, από τα χέρια του
Γιοχάνες Κέπλερ. Για το σκοπό αυτό, ο Κέπλερ παραδέχτηκε ότι οι πλανητικές τροχιές δεν ήταν απόλυτα κυκλικές, αλλά μάλλον ελλειπτικός. Κατέχοντας εξαιρετικά ακριβή αστρονομικά δεδομένα, που πραγματοποιήθηκαν από τον Brahe, ο Κέπλερ θέσπισε δύο νόμους που διέπουν την κίνηση των πλανητών, 10 χρόνια αργότερα, δημοσίευσε έναν τρίτο νόμο, ο οποίος επιτρέπει την εκτίμηση της τροχιακής περιόδου ή ακόμα και της ακτίνας τροχιάς των πλανητών που περιστρέφονται γύρω από του Ήλιος.
Οι νόμοι του Κέπλερ
Οι νόμοι της πλανητικής κίνησης του Κέπλερ είναι γνωστοί ως: νόμος των ελλειπτικών τροχιών,το δίκαιο των περιοχών και το δίκαιο των περιόδων. Μαζί αυτά εξηγούν πώς λειτουργεί η κίνηση οποιουδήποτε σώματος σε τροχιά γύρω από ένα τεράστιο αστέρι, όπως πλανήτες ή αστέρια. Ας δούμε τι αναφέρεται στους νόμους του Κέπλερ:
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
1ος νόμος του Κέπλερ: νόμος των τροχιών
Ο Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ δηλώνει ότι η τροχιά των πλανητών που περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο δεν είναι κυκλική αλλά ελλειπτική. Επιπλέον, ο Ήλιος καταλαμβάνει πάντα ένα από τα επίκεντρα αυτής της έλλειψης. Αν και ελλειπτικά, ορισμένες τροχιές, όπως η Γη, είναι πολύ κοντά σε έναν κύκλο, καθώς είναι ελλείψεις που έχουν εκκεντρικότηταπολύλίγο. Η εκκεντρικότητα, με τη σειρά της, είναι το μέτρο που δείχνει πόσο γεωμετρικό σχήμα διαφέρει από ένα κύκλος και μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση μεταξύ των ημι-αξόνων της έλλειψης.
"Η τροχιά των πλανητών είναι μια έλλειψη στην οποία ο Ήλιος καταλαμβάνει ένα από τα επίκεντρα."
2ος νόμος του Κέπλερ: νόμος των περιοχών
Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ αναφέρει ότι η φανταστική γραμμή που συνδέει τον Ήλιο με τους πλανήτες σε τροχιά γύρω από τις περιοχές σε ίσα χρονικά διαστήματα. Με άλλα λόγια, αυτός ο νόμος αναφέρει ότι το η ταχύτητα με την οποία σαρώνονται οι περιοχές είναι η ίδια, δηλαδή, η ταχύτητα φωτοστέφανος των τροχιών είναι σταθερή.
"Η φανταστική γραμμή που συνδέει τον Ήλιο με τους πλανήτες σε τροχιά γύρω από, σαρώνει ίσες περιοχές σε ίσα χρονικά διαστήματα."
3ος νόμος του Κέπλερ: νόμος περί περιόδων ή νόμος αρμονίας
Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ αναφέρει ότι το τετράγωνο της τροχιακής περιόδου του πλανήτη (Τ2) είναι άμεσα ανάλογο με τον κύβο της μέσης απόστασής του από τον Ήλιο (R³). Επιπλέον, η αναλογία μεταξύ T2 και R³ έχει ακριβώς το ίδιο μέγεθος για όλα τα αστέρια που βρίσκονται σε τροχιά γύρω από αυτό το αστέρι.
"Η αναλογία μεταξύ του τετραγώνου της περιόδου και του κύβου της μέσης ακτίνας της τροχιάς ενός πλανήτη είναι σταθερή."
Η έκφραση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του τρίτου νόμου του Κέπλερ φαίνεται παρακάτω, ελέγξτε το:
Τ - περίοδος τροχιάς
Ρ - μέση ακτίνα της τροχιάς
Κοιτάξτε την επόμενη εικόνα, σε αυτήν παρουσιάζουμε τους κύριους και δευτερεύοντες άξονες μιας πλανητικής τροχιάς γύρω από τον Ήλιο:
Η μέση ακτίνα της τροχιάς, που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του τρίτου νόμου του Kepler, δίνεται από το μέσο όρο μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης ακτίνας. Οι θέσεις που φαίνονται στο σχήμα, οι οποίες χαρακτηρίζουν τη μεγαλύτερη και μικρότερη απόσταση της Γης από τον Ήλιο, ονομάζονται αφελίων και περιελίων, αντίστοιχα.
Όταν η Γη πλησιάζει περιήλιο, τα δικα σου τροχιακή ταχύτητα αυξάνεται, δεδομένου ότι το βαρυτική επιτάχυνση του Ήλιου εντείνεται. Με αυτόν τον τρόπο, η Γη έχει το μέγιστο κινητική ενέργεια όταν είναι κοντά στο περιήλιο. Πλησιάζοντας το αφλίον, χάνει την κινητική ενέργεια, μειώνοντας έτσι την τροχιακή του ταχύτητα στο μικρότερο μέτρο.
Μάθετε περισσότερα: Βαρυτική επιτάχυνση - τύποι και ασκήσεις
Ο πιο λεπτομερής τύπος του τρίτου νόμου του Κέπλερ φαίνεται παρακάτω. Σημειώστε ότι η αναλογία μεταξύ T2 και R³ καθορίζεται αποκλειστικά από δύο σταθερές, τον αριθμό pi και τη σταθερά της καθολικής βαρύτητας, καθώς και από το ζυμαρικά του ήλιου:
σολ - σταθερά καθολικής βαρύτητας (6.67.10-11 N.m² / kg²)
Μ - μάζα του Ήλιου (1.989.1030 κιλό)
Αυτός ο νόμος δεν αποκτήθηκε από τον Κέπλερ, αλλά από Ισαάκ Νιούτον, μέσω νόμος της καθολικής βαρύτητας. Να το κάνω, Νεύτο αναγνώρισε ότι η βαρυτική δύναμη έλξης μεταξύ της Γης και του Ήλιου είναι κεντρομόλος δύναμη. Παρατηρήστε τον ακόλουθο υπολογισμό, δείχνει πώς είναι δυνατόν να ληφθεί, βάσει του νόμου της καθολικής βαρύτητας, της γενικής έκφρασης του τρίτου νόμου του Κέπλερ:
Επίσης γνωρίζω:Τι είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση;
Ελέγξτε τον παρακάτω πίνακα, σε αυτό δείχνουμε πώς διαφέρουν οι μετρήσεις των Τ2 και R³, εκτός από την αναλογία τους, για καθέναν από τους πλανήτες στο Ηλιακό Σύστημα:
Πλανήτης |
Μέση ακτίνα τροχιάς (R) σε AU |
Περίοδος σε επίγεια έτη (Τ) |
T² / R³ |
Ερμής |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
Αφροδίτη |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
Γη |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
Άρης |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
Ζεύς |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
Κρόνος |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
Ουρανός |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
Ποσειδώνας |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
Η μέση ακτίνα των τροχιών στον πίνακα μετράται σε αστρονομικές μονάδες (u). Μια αστρονομική μονάδα αντιστοιχεί απόστασημέση τιμή μεταξύ της Γης και του Ήλιου, περίπου 1.496.1011 Μ. Επιπλέον, οι μικρές διακυμάνσεις στις αναλογίες T2 έναντι R³ οφείλονται σε περιορισμούς ακριβείας στις μετρήσεις της τροχιακής ακτίνας και στην περίοδο μετάφραση κάθε πλανήτη.
Κοίταεπίσης: Εφαρμογές κεντριπικής δύναμης - αγκάθια και καταθλιπτικά
Ασκήσεις στους νόμους του Κέπλερ
Ερώτηση 1) (Ita 2019) Ένας διαστημικός σταθμός, ο Κέπλερ, μελετά έναν εξωπλανήτη του οποίου ο φυσικός δορυφόρος έχει ελλειπτική τροχιά ημι-μεγάλων0 και περίοδος Τ0, όπου d = 32a0 την απόσταση μεταξύ του σταθμού και του εξωπλανήτη. Ένα αντικείμενο που αποσπάται από τον Κέπλερ έλκεται βαρυτικά στον εξωπλανήτη και ξεκινά μια ελεύθερη κίνηση πτώσης από το υπόλοιπο σε σχέση με αυτό. Παραβλέποντας την περιστροφή του εξωπλανήτη, η βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ του δορυφόρου και του αντικειμένου, καθώς και οι διαστάσεις όλων των εμπλεκόμενων σωμάτων, υπολογίζονται ως συνάρτηση του T0 ο χρόνος πτώσης του αντικειμένου.
Πρότυπο: t = 32Τ0
Ανάλυση:
Εάν λάβουμε υπόψη ότι η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς που θα περιγράψει το αντικείμενο είναι περίπου ίση με 1, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ακτίνα τροχιάς του αντικειμένου θα είναι ίση με τη μισή απόσταση μεταξύ του διαστημικού σταθμού Kepler και του πλανήτης. Με αυτόν τον τρόπο, θα υπολογίσουμε πόσο καιρό το αντικείμενο πρέπει να πλησιάσει τον πλανήτη από την αρχική του θέση. Για αυτό, πρέπει να βρούμε την περίοδο της τροχιάς, και ο χρόνος πτώσης, με τη σειρά του, θα είναι ίσος με το ήμισυ αυτού του χρόνου:
Αφού εφαρμόσουμε τον τρίτο νόμο του Κέπλερ, διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2, από αυτό που υπολογίζουμε ήταν η τροχιακή περίοδος, κατά την οποία, στο μισό του χρόνου, το αντικείμενο πέφτει προς τον πλανήτη και στο άλλο μισό, απομακρύνεται. Έτσι, ο χρόνος πτώσης, σε όρους Τ0, είναι το ίδιο με 32Τ0.
Ερώτηση 2) (Ούντεσκ 2018) Αναλύστε τις προτάσεις σχετικά με τους νόμους του Κέπλερ σχετικά με την πλανητική κίνηση.
ΕΓΩ. Η ταχύτητα ενός πλανήτη είναι μεγαλύτερη στο περιήλιο.
ΙΙ. Οι πλανήτες κινούνται σε κυκλικές τροχιές, με τον Ήλιο στο κέντρο της τροχιάς.
III. Η τροχιακή περίοδος ενός πλανήτη αυξάνεται με τη μέση ακτίνα της τροχιάς του.
IV. Οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, με τον Ήλιο σε ένα από τα σημεία εστίασης.
V. Η ταχύτητα ενός πλανήτη είναι υψηλότερη στο aphelion.
επιλέξτε την εναλλακτική σωστός.
α) Αληθεύουν μόνο οι δηλώσεις I, II και III.
β) Αληθεύουν μόνο οι δηλώσεις II, III και V.
γ) Μόνο οι δηλώσεις I, III και IV είναι αληθείς.
δ) Αληθεύουν μόνο οι δηλώσεις III, IV και V.
ε) Μόνο οι δηλώσεις I, III και V είναι αληθείς.
Πρότυπο: Γράμμα Γ
Ανάλυση:
Ας δούμε τις εναλλακτικές λύσεις:
ΕΓΩ - ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ. Όταν ο πλανήτης πλησιάζει το περιήλιο, η ταχύτητα μετάφρασης αυξάνεται, λόγω της αύξησης της κινητικής ενέργειας.
ΙΙ - ΨΕΥΔΗΣ. Οι πλανητικές τροχιές είναι ελλειπτικές, με τον Ήλιο να καταλαμβάνει μια από τις εστίες τους.
III - ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ. Η τροχιακή περίοδος είναι ανάλογη με την ακτίνα της τροχιάς.
IV - ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ. Αυτός ο ισχυρισμός επιβεβαιώνεται από τη δήλωση του πρώτου νόμου του Kepler.
V - ΨΕΥΔΗΣ. Η ταχύτητα ενός πλανήτη είναι μεγαλύτερη κοντά στο περιήλιο.
Ερώτηση 3) (ΦτουΑκολούθησαν πολλές θεωρίες για το Ηλιακό Σύστημα, έως τον 16ο αιώνα, ο Πολωνός Νικόλαος Κοπέρνικος παρουσίασε μια επαναστατική εκδοχή. Για τον Κοπέρνικο, ο Ήλιος, όχι η Γη, ήταν το κέντρο του Συστήματος. Επί του παρόντος, το αποδεκτό μοντέλο για το Ηλιακό Σύστημα είναι βασικά εκείνο του Copernicus, με διορθώσεις που πρότειναν οι Γερμανοί Johannes Kepler και επόμενοι επιστήμονες.
Σχετικά με τη βαρύτητα και τους νόμους του Κέπλερ, εξετάστε τις ακόλουθες δηλώσεις, αληθής (Θα απομίμηση (ΦΑ).
ΕΓΩ. Υιοθετώντας τον Ήλιο ως αναφορά, όλοι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, με τον Ήλιο ως ένα από τα επίκεντρα της έλλειψης.
ΙΙ. Το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ενός πλανήτη στο Ηλιακό Σύστημα, σε σχέση με το κέντρο μάζας του Ήλιος, σαρώνει ίσες περιοχές σε ίσα χρονικά διαστήματα, ανεξάρτητα από τη θέση του πλανήτη στη δική σας τροχιά.
III. Το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ενός πλανήτη στο Ηλιακό Σύστημα, σε σχέση με το κέντρο μάζας του Ήλιου, σαρώνει ανάλογες περιοχές σε ίσα χρονικά διαστήματα, ανεξάρτητα από τη θέση του πλανήτη σε αυτό τροχιά.
IV. Για οποιονδήποτε πλανήτη στο Ηλιακό Σύστημα, το πηλίκο του κύβου της μέσης ακτίνας της τροχιάς και του τετραγώνου της περιόδου περιστροφής γύρω από τον Ήλιο είναι σταθερό.
επιλέξτε την εναλλακτική ΣΩΣΤΟΣ.
α) Όλες οι δηλώσεις είναι αληθείς.
β) Αληθεύουν μόνο οι δηλώσεις I, II και III.
γ) Μόνο οι δηλώσεις I, II και IV είναι αληθείς.
δ) Αληθεύουν μόνο οι δηλώσεις II, III και IV.
ε) Μόνο οι δηλώσεις I και II είναι αληθείς.
Πρότυπο: Γράμμα Γ
Ανάλυση:
ΕΓΩ. ΑΛΗΘΗΣ. Η δήλωση είναι η ίδια η δήλωση του πρώτου νόμου του Κέπλερ.
ΙΙ. ΑΛΗΘΗΣ. Η δήλωση συμπίπτει με τον ορισμό του δεύτερου νόμου του Kepler.
III. ΨΕΥΔΗΣ. Ο προσδιορισμός του δεύτερου νόμου του Κέπλερ, που απορρέει από την αρχή της διατήρησης της γωνιακής ορμής, υπονοεί ότι οι περιοχές σάρωσης είναι ίσες για ίσα χρονικά διαστήματα.
IV. ΑΛΗΘΗΣ. Η δήλωση αναπαράγει τον τρίτο νόμο του Κέπλερ, επίσης γνωστός ως νόμος των περιόδων.
Από εμένα, Rafael Helerbrock
