Μέχρι τα μέσα του 16ου αιώνα, εξισώσεις όπως το x2 - 6x + 10 = 0 θεωρήθηκαν απλώς «χωρίς λύση». Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, σύμφωνα με τον τύπο του Bhaskara, κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, το αποτέλεσμα που βρέθηκε θα ήταν:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Το πρόβλημα βρέθηκε στο √– 4, το οποίο δεν έχει καμία λύση εντός του συνόλου των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, όχι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που πολλαπλασιάζεται από μόνος του, αποδίδει √– 4, δεδομένου ότι 2 · 2 = 4 και (–2) (- 2) = 4.
Το 1572, ο Rafael Bombelli ήταν απασχολημένος με την επίλυση της εξίσωσης x3 - 15x - 4 = 0 χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cardano. Μέσω αυτού του τύπου, συνάγεται το συμπέρασμα ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, καθώς καταλήγει απαραίτητο να υπολογιστεί √– 121. Ωστόσο, μετά από λίγες προσπάθειες, είναι δυνατό να το βρείτε 43 - 15 · 4 - 4 = 0 και επομένως ότι το x = 4 είναι μια ρίζα αυτής της εξίσωσης.
Λαμβάνοντας υπόψη την ύπαρξη πραγματικών ριζών που δεν εκφράζονται από τον τύπο του Cardano, ο Bombelli είχε την ιδέα να υποθέσει ότι √– 121 θα είχε ως αποτέλεσμα √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 και αυτό θα μπορούσε να είναι μια «μη πραγματική» ρίζα για την εξίσωση μελετημένος. Έτσι, το √– 121 θα ήταν μέρος ενός νέου τύπου αριθμού που αποτελεί τις άλλες αβάσιμες ρίζες αυτής της εξίσωσης. Έτσι, η εξίσωση x
3 - 15x - 4 = 0, το οποίο έχει τρεις ρίζες, θα έχει x = 4 ως την πραγματική ρίζα και δύο άλλες ρίζες που ανήκουν σε αυτόν τον νέο τύπο αριθμού.Στα τέλη του 18ου αιώνα, ο Gauss ονόμασε αυτούς τους αριθμούς ως σύνθετοι αριθμοί. Εκείνη την εποχή, οι σύνθετοι αριθμοί είχαν ήδη τη μορφή a + bi, με i = √– 1. Επί πλέον, ο και σι Ήταν ήδη θεωρημένα σημεία καρτεσιανού αεροπλάνου, γνωστό ως αεροπλάνο Argand-Gauss. Έτσι, ο σύνθετος αριθμός Z = a + bi είχε ως γεωμετρική αναπαράσταση ένα σημείο P (a, b) του καρτεσιανού επιπέδου.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Επομένως, η έκφραση «σύνθετοι αριθμοίΆρχισε να χρησιμοποιείται σε σχέση με το αριθμητικό σύνολο των οποίων οι εκπρόσωποι είναι: Z = a + bi, με i = √– 1 και με ο και σι ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή η αναπαράσταση ονομάζεται αλγεβρική μορφή σύνθετου αριθμού Ζ.
Δεδομένου ότι οι σύνθετοι αριθμοί σχηματίζονται από δύο πραγματικούς αριθμούς και ένας από αυτούς πολλαπλασιάζεται με √– 1, αυτοί οι πραγματικοί αριθμοί έχουν δοθεί ένα ειδικό όνομα. Λαμβάνοντας υπόψη τον περίπλοκο αριθμό Z = a + bi, το a είναι το "πραγματικό μέρος του Z" και το b είναι το "φανταστικό μέρος του Z". Μαθηματικά, μπορούμε να γράψουμε, αντίστοιχα: Re (Z) = a και Im (Z) = b.
Η ιδέα του συντελεστή ενός σύνθετου αριθμού κρυσταλλώνεται ανάλογα με την ιδέα του συντελεστή ενός πραγματικού αριθμού. Θεωρώντας το σημείο P (a, b) ως γεωμετρική αναπαράσταση του σύνθετου αριθμού Z = a + bi, η απόσταση μεταξύ του σημείου P και του σημείου (0,0) δίνεται από:
| Ζ | = √(Ο2 + β2)
Ένας δεύτερος τρόπος αναπαραγωγής των σύνθετων αριθμών είναι μέσω του Πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Αυτή η φόρμα χρησιμοποιεί το συντελεστή ενός σύνθετου αριθμού στη σύνταξή του. Ο σύνθετος αριθμός Z, αλγεβρικά Z = a + bi, μπορεί να αναπαρασταθεί με την πολική μορφή με:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι το καρτεσιανό επίπεδο ορίζεται από δύο ορθογώνιες γραμμές, γνωστές ως άξονες x και y. Γνωρίζουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν από μια γραμμή στην οποία τοποθετούνται όλοι οι λογικοί αριθμοί. Οι υπόλοιποι χώροι γεμίζουν με τους παράλογους αριθμούς. Ενώ οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι στη γραμμή που είναι γνωστή ως Άξονας Χ από το Καρτεσιανό επίπεδο, όλα τα άλλα σημεία που ανήκουν σε αυτό το επίπεδο θα ήταν η διαφορά μεταξύ σύνθετων αριθμών και πραγματικών αριθμών. Έτσι, το σύνολο των πραγματικών αριθμών περιέχεται στο σύνολο των σύνθετων αριθμών.
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Τι είναι οι σύνθετοι αριθμοί;"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.
