Έλλειψη (μαθηματικά): τι είναι, στοιχεία, εξίσωση

Ο Ελλειψη είναι μια επίπεδη μορφή που ταξινομείται ως κωνικός, επειδή αυτή μπορείτε να λάβετε από την ενότητα ενός σχεδίου σε κώνο. Η εύρεση μιας επίπεδης μορφής με σχήμα έλλειψης είναι πολύ συχνή στην καθημερινή ζωή. Έχει μελετηθεί ευρέως για να εξηγηθεί η κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο, καθώς οι τροχιές αυτών των αστεριών είναι ελλείψεις.

Ο αναλυτική γεωμετρία είναι ο τομέας των μαθηματικών που επιδιώκει να περιγράψει αλγεβρικά γεωμετρικά σχήματα, συμπεριλαμβανομένων, η έλλειψη μελετάται σε βάθος στην αναλυτική γεωμετρία, είναι δυνατό να το περιγράψουμε μέσω μιας εξίσωσης που λαμβάνει υπόψη τα στοιχεία της. Τα κύρια στοιχεία της έλλειψης είναι:

• κύριος άξονας

• δευτερεύων άξονας

• εστιακή απόσταση

• εστίες F₁ και ΣΤ₂

Ορίζουμε την έλλειψη ως το σύνολο σημείων όπου το άθροισμα της απόστασης αυτών των σημείων προς την εστίαση F₁ και να εστιάσετε στο F₂ είναι πάντα σταθερό.

Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών;

Τι είναι μια έλλειψη;

Γνωρίζουμε ως έλλειψη το επίπεδη μορφή που σχηματίζεται από το τμήμα μεταξύ του επιπέδου και του κώνος,

με τον ακόλουθο τρόπο:

Η έλλειψη είναι κωνική.

Για να χτίσετε την έλλειψη, είναι πρέπει να ξέρετε το δικό σας δύο επικεντρώσεις, ΣΤ₁ και ΣΤ₂, και επίσης το μήκος του κύριου άξονα, που είναι η γραμμή που συνδέει τα άκρα της έλλειψης, στην παρακάτω εικόνα, που αντιπροσωπεύεται από το Α₁ Ο₂.

Το μήκος του κύριου άξονα είναι ίσο με 2α, έτσι η έλλειψη είναι η καμπύλη που σχηματίζεται από όλα τα σημεία Ρ_όχι όπου το άθροισμα της απόστασης από το σημείο έως την πρώτη εστίαση (dP)_όχιφά₁) με την απόσταση από το σημείο έως τη δεύτερη εστίαση (dP_όχιφά₂) είναι πάντα σταθερή και ίση με 2a.

dP₁φά₁ + dP₁φά₂ = dP₂φά₁ + Ρ₂φά₂ = dP₃φά₁ + dP₃φά₂ = dA₁Ο₂ = 2ος

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

Στοιχεία έλλειψης

Για να κατανοήσουμε πλήρως τον σχηματισμό της έλλειψης, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε κάθε ένα από τα στοιχεία του. Είναι οι εστίες, το κέντρο, ο κύριος άξονας και ο δευτερεύων άξονας. Βάσει αυτών, είναι δυνατόν να εντοπιστούν σημαντικές σχέσεις στην έλλειψη.

• Το κέντρο της έλλειψης αντιπροσωπεύεται από το σημείο O.

• Ήδη τα σημεία F₁ και ΣΤ₂ αντιπροσωπεύουν τις εστίες έλλειψης.

• τα σημεία Α₁ και το₂ είναι άκρα του οριζόντιου άξονα της έλλειψης και τα σημεία Β₁ και Β₂ είναι άκρα του κάθετου άξονά του.

• Η απόσταση μεταξύ Β₁ και Β₂ είναι ίσο με 2b (μήκος της έλλειψης στον δευτερεύοντα άξονα).

• Η απόσταση μεταξύ Α₁ και το₂ είναι ίσο με 2α (μήκος έλλειψης στον κύριο άξονα).

• Το εστιακό μήκος μεταξύ F₁ και ΣΤ₂ είναι ίσο με 2c.

Παρατήρηση: Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι η παρακολούθηση F₁σι₁ έχει μήκος ίσο με το ήμισυ του οριζόντιου άξονα, δηλαδή, dF₁σι₁ = α. Έτσι, είναι επίσης δυνατό να αντιληφθούμε μια σημαντική Πυθαγόρεια σχέση κατά την ανάλυση του τριγώνου Α₁ΟΒ_1. Σημειώστε ότι είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα.

a² = b² + c²

Υπάρχει μια άλλη δυνατότητα για την έλλειψη, που είναι όταν ο μακρύτερος άξονας είναι ο κάθετος άξονας. Σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία παραμένουν τα ίδια.

Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εφαρμόσουμε και το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχοντας τα εξής:

b² = a² + c²

Διαβάστε επίσης: Ποια είναι τα στοιχεία ενός πολυγώνου;

Εξίσωση έλλειψης

Η μελέτη της έλλειψης γίνεται αναλυτικά στο Καρτεσιανό αεροπλάνο. Η αναλυτική γεωμετρία επιδιώκει να περιγράψει, μέσω εξισώσεων, τα σχήματα του επιπεδομετρία. Έτσι, είναι δυνατή η περιγραφή του σχήματος μέσω της λεγόμενης εξίσωσης έλλειψης.

Πρώτον, θα κάνουμε παραδείγματα μιας έλλειψης της οποίας οι εστίες περιέχονται είτε στον άξονα x είτε στον άξονα y, δηλαδή, η προέλευση της έλλειψης συμπίπτει με την προέλευση του καρτεσιανού επιπέδου.

Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχουν δύο δυνατότητες, όταν ο κύριος άξονας είναι ο κάθετος άξονας και όταν ο κύριος άξονας είναι ο οριζόντιος άξονας:

Παρατήρηση: Οι εστίες περιέχονται πάντα στον μακρύτερο άξονα, οπότε αν a> b, οι εστίες περιέχονται στον οριζόντιο άξονα και εάν b> a, περιέχονται στον κατακόρυφο άξονα.

Το κέντρο της έλλειψης δεν είναι πάντα στην αρχή του καρτεσιανού επιπέδου, η οποία δεν εμποδίζει την ανάπτυξη και προσαρμογή της εξίσωσης έλλειψης για αυτήν την περίπτωση. Όταν η έλλειψη αντισταθμίζεται από την προέλευση O (x_0, ε₀), η εξίσωση μπορεί να περιγραφεί από:

Διαβάστε επίσης: Ποια είναι η μειωμένη εξίσωση της περιφέρειας;

Εκκεντρικότητα έλλειψης

Γνωρίζουμε ως εκκεντρικότητα τολόγος μεταξύ μήκους c και μισού μήκους του μακρύτερου άξονα της έλλειψης. Υποθέτοντας ότι ο μακρύτερος άξονας είναι οριζόντιος, η εκκεντρότητα υπολογίζεται από:

Εάν η έλλειψη βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα, η εκκεντρότητα θα υπολογιστεί από:

Ο Η εκκεντρικότητα μάς λέει πόσο επίπεδη είναι η έλλειψηΌσο μεγαλύτερη είναι η τιμή εκκεντρότητας, τόσο πιο κοντά στον κύκλο θα είναι η έλλειψη. Δεδομένου ότι ο κύριος άξονας έχει πάντα μήκος μεγαλύτερο από το εστιακό μήκος, συνεπώς c