Η πιθανότητα είναι ένα πεδίο μαθηματικών που μελετά το πιθανότητες συμβάντος σε τυχαίο πείραμα. Η πιθανότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των αποδόσεων ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος στο roll of a die ή ακόμα και των πιθανοτήτων κάποιου να κερδίσει τη λαχειοφόρο αγορά.
Η μαθηματική πιθανότητα αντιπροσωπεύεται από το σύνολο των αριθμών μεταξύ 0 και 1:
- Όταν ένα συμβάν έχει πιθανότητα 0, η εμφάνισή του είναι αδύνατη,
- Όταν η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι 1, αυτό το συμβάν θα συμβεί σίγουρα.
Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα;
Για να υπολογίσετε την πιθανότητα, διαιρέστε τον αριθμό των αναμενόμενων συμβάντων συμβάντος με τον συνολικό αριθμό συμβάντων σε ένα τυχαίο πείραμα. Για παράδειγμα, εάν θέλαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πέσει ένα κέρμα στο έδαφος με το "στέμμα" προς τα πάνω, θα έχουμε:
- Μία (1) πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος που θέλουμε: "στέμμα",
- Δύο (2) συνολικές δυνατότητες εκδήλωσης: "κεφάλια" και "ουρές".
Έτσι χωρίσαμε το 1/2 και έχουμε πιθανότητα "ουρών" 1/2 ή 50%.
τύπος πιθανότητας
Για να κατανοήσετε καλύτερα τον τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας, δείτε τον τύπο:
Οπου:
- P (E) = πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος ΚΑΙ
- n (E) = συνολικός αριθμός εμφάνισης του συμβάντος E
- n (S) = αριθμός εμφανίσεων του χώρου δείγματος S
Πριν δείτε πρακτικά παραδείγματα υπολογισμών, κατανοήστε μερικές θεμελιώδεις έννοιες πιθανότητας:
τυχαίο πείραμα
Η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί μόνο σε περιπτώσεις τυχαίων πειραμάτων, δηλαδή σε καταστάσεις όπου Δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ή να προβλεφθεί το αποτέλεσμα..
Ένα παράδειγμα ενός τυχαίου πειράματος είναι η κύλιση. Εάν το καλούπι δεν είναι αγκιστρωμένο (με περισσότερο βάρος σε μία από τις επιφάνειες, για παράδειγμα), δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ποιο πρόσωπο θα πέσει προς τα πάνω, δηλαδή, το αποτέλεσμα του ρολού εξαρτάται από την τύχη.
Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν μια τσάντα γεμάτη με μπλε και κίτρινες μπάλες του ίδιου μεγέθους και βάρους. Επιλέγοντας μία από τις μπάλες τυχαία, χωρίς να τις δούμε, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε εάν θα βγει μια μπλε ή κίτρινη μπάλα, οπότε αυτό το πείραμα είναι τυχαίο.
Δείγμα χώρου
Ο χώρος του δείγματος είναι ο σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων σε ένα τυχαίο πείραμα. Για παράδειγμα, όταν τυλίγουμε μια μήτρα, το διάστημα δείγματος (S) αντιπροσωπεύεται από όλες τις τιμές της μήτρας, δηλαδή: (S) = {1,2,3,4,5,6}.
Ο χώρος δειγματοληψίας, λοιπόν, είναι το σύνολο όλων των προσώπων της μήτρας, καθώς οι 6 όψεις είναι οι 6 πιθανότητες να συμβούν μετά από ένα ρολό. Έτσι, αν και δεν είναι δυνατόν να προβλεφθεί το αποτέλεσμα, γνωρίζουμε ότι θα βρίσκεται εντός του χώρου δειγμάτων.
Εκδήλωση
Το συμβάν (E) είναι ένα υποσύνολο του δείγματος χώρου (S). Κατά την κύλιση μιας μήτρας, η εμφάνιση του αριθμού 5, E = {5} ή ενός ζυγού αριθμού, E = {2,4,6}, μπορεί να προσδιοριστεί ως συμβάν.
Τύποι εκδηλώσεων
Σωστό συμβάν: ένα συγκεκριμένο συμβάν είναι αυτό που αντιπροσωπεύει το ίδιο το δείγμα χώρου (E = S) και θα συμβεί με βεβαιότητα. Μετά το ρολό μιας τυπικής μήτρας (με αριθμούς από 1 έως 6), η πιθανότητα κύλισης ενός φυσικού αριθμού είναι 100%, καθώς όλοι οι αριθμοί από το 1 έως το 6 είναι φυσικοί.
Αδύνατο συμβάν: ένα αδύνατο συμβάν είναι εκείνο που έχει 0% πιθανότητα να συμβεί. Κατά την κύλιση μιας τυπικής μήτρας, η πιθανότητα κύλισης του αριθμού 8 είναι μηδενική, καθώς η μήτρα δεν έχει πρόσωπο με τον αριθμό 8.
Συμπληρωματικές εκδηλώσεις: συμπληρωματικά συμβάντα είναι εκείνα στα οποία η τομή μεταξύ των γεγονότων αντιπροσωπεύεται από ένα κενό σύνολο και η ένωση αντιπροσωπεύεται από ολόκληρο το σύνολο δειγμάτων.
Η πιθανότητα εμφάνισης α Ζυγός αριθμός και από ένα περιττός αριθμός όταν ρίχνουν μια μήτρα, είναι συμπληρωματικά γεγονότα, καθώς το άθροισμα των εμφανίσεων αυτών των δύο γεγονότων αντιπροσωπεύεται από τις 6 δυνατότητες: E = {1,2,3,4,5,6}.
Σε αυτήν την περίπτωση δεν θα υπάρχει διασταύρωση, καθώς ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφος και μονός ταυτόχρονα.
Ασκήσεις πιθανότητας
Ας ασκήσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο πιθανότητας με ένα παράδειγμα:
- Κατά την κύλιση, ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης των ακόλουθων συμβάντων:
α) Μονός αριθμός:
Υπάρχουν τρεις πιθανότητες να λάβετε έναν μονό αριθμό: E = {1,3,5}. Σε αυτήν την περίπτωση, n (E) = 3. Εάν ο συνολικός αριθμός δυνατοτήτων n (S) = 6, έχουμε:
P (E) = 3/6
P (E) = 1/2 ή 50%
Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει πιθανότητα 50% να εμφανιστεί ένας μονός αριθμός.
β) Αριθμός 5:
Υπάρχει μόνο μία πιθανότητα να λάβετε τον αριθμό 5, οπότε n (E) = 1. Λαμβάνοντας υπόψη τον συνολικό αριθμό δυνατοτήτων n (S) = 6, έχουμε:
P (E) = 1/6
P (E) = 0,166 ή 16,6%
Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει πιθανότητα 16% ότι ο αριθμός 5 θα κυληθεί κατά την κύλιση μιας μήτρας.
Σημειώστε ότι, όπως είπαμε στην αρχή του κειμένου, η πιθανότητα θα είναι πάντα ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1, όπου 1 αντιπροσωπεύει 100% πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος και 0, την αδυναμία εμφάνισης του Εκδήλωση.
Δείτε επίσης την έννοια του αριθμητική, ποσοστό και γεωμετρία.
