Μπορείτε να πείτε ποιες είναι οι κοινές ακολουθίες στην παραπάνω εικόνα; Σε όλα αυτά οι αριθμοί αυξάνονται σύμφωνα με κάποια «λογική μορφή». Αυτά τα αριθμητικές ακολουθίες μπορεί να ταξινομηθεί ως γεωμετρικές προόδους. Ενας γεωμετρική εξέλιξη (PG) είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαίρεση ενός στοιχείου από το αμέσως προηγούμενο στοιχείο οδηγεί πάντα στην ίδια τιμή, που ονομάζεται λόγος. Μια άλλη ενδιαφέρουσα πτυχή που χαρακτηρίζει μια γεωμετρική πρόοδο είναι ότι, όταν επιλέγουμε τρία διαδοχικά στοιχεία, το τετράγωνο του μεσαίου στοιχείου θα είναι πάντα ίσο με το προϊόν των στοιχείων του άκρα. Για παράδειγμα, ας δούμε την ακολουθία A = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…). Μπορούμε να προσδιορίσουμε τον λόγο επιλέγοντας οποιοδήποτε στοιχείο και διαιρώντας το με τον αμέσως προηγούμενο όρο. Ας εκτελέσουμε αυτήν τη διαδικασία για όλα τα στοιχεία που εμφανίζονται στη σειρά:
32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1
Επομένως, ο λόγος της ακολουθίας Α είναι 2. Ας δούμε αν ισχύει ο δεύτερος κανόνας. Ας επιλέξουμε τρία διαδοχικά στοιχεία, για παράδειγμα,
4, 8, 16. Σύμφωνα με τον κανόνα, το τετράγωνο του 8 είναι ίσο με το προϊόν δύο τελικών αριθμών, σε αυτήν την περίπτωση 4 και 16. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες βελτίωσης, πρέπει 8² = 64. Εάν πολλαπλασιάσουμε τα άκρα, το καταλαβαίνουμε 4 * 16 = 64. Εφαρμόστε αυτούς τους κανόνες σε άλλες εξελίξεις και μάθετε αν η ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος.Λαμβάνοντας οποιαδήποτε ακολουθία (Ο1, ένα2, ένα3, ένα4, …, Ον-1, έναόχι, …), μπορούμε να το πούμε αυτό όχι οποιοδήποτε ακέραιο, το λόγος r δίνεται από:
r = οόχι
οn - 1
Ας αναλύσουμε τις άλλες ακολουθίες της αρχικής εικόνας κειμένου, ελέγχοντας αν είναι γεωμετρικές εξελίξεις.
B = {5, 25, 125, 625, 3125,…}
r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625
C = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}
r = – 3 = 9 = – 27 = 81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81
Δ = {10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}
r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2
Μια γεωμετρική εξέλιξη μπορεί να ταξινομηθεί ανάλογα με τον λόγο της. Ας δούμε τις πιθανές ταξινομήσεις:
Εάν η PG παρουσιάζει έναν λόγο για αρνητική τιμή, λέμε ότι είναι PG εναλλασσόμενος ή αιωρούνται, όπως στο παράδειγμα ΝΤΟ. Σημειώστε ότι μια συμβολοσειρά αυτού του τύπου έχει εναλλασσόμενες θετικές και αρνητικές τιμές (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729 ...).
Όταν το πρώτο στοιχείο του PG είναι θετικός και ο λόγος r είναι σαν r> 1 ή το πρώτο στοιχείο του PG είναι αρνητικός και 0
, λέμε ότι η PG είναι αυξάνεται. τις ακολουθίες Ο και σι είναι παραδείγματα μιας αυξανόμενης γεωμετρικής εξέλιξης. Εάν συμβεί το αντίθετο της σταθερής PG, δηλαδή όταν είναι το πρώτο στοιχείο της PG αρνητικός και ο λόγος r είναι σαν r> 1 ή το πρώτο στοιχείο του PG είναι θετικός και 0
, αυτό είναι ένα PG μειώνεται. Η ακολουθία ρε είναι ένα παράδειγμα μειωμένης PG. Όταν μια PG έχει αναλογία ίση με 1, ταξινομείται ως PG συνεχής. Η ακολουθία (2, 2, 2, 2, 2,…) είναι ένας τύπος σταθερού PG επειδή ο λόγος είναι 1;
Όταν η PG έχει τουλάχιστον μηδενικός όρος, λέμε ότι είναι μια γεωμετρική πρόοδος ενικός. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τον λόγο για μια μοναδική PG. Ένα παράδειγμα είναι η ακολουθία (2, 0, 0, 0,…).
Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-geometrica.htm
