Γνωρίζουμε ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές, ωστόσο, για το αφαίρεση του τρίτου νόμου του Keplerας εξετάσουμε μια κυκλική τροχιά. Αν και η ακόλουθη επίδειξη βασίζεται σε κυκλικές τροχιές, τα αποτελέσματα ισχύουν επίσης για ελλειπτικές τροχιές.
Στο σχήμα έχουμε έναν πλανήτη σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Η κεντρομόλος δύναμη (Fc) είναι μια βαρυτική δύναμη έλξης που ασκείται από τον Ήλιο. Οι δυνάμεις έλξης που ασκούνται μεταξύ πλανητών και δορυφόρων παραμελούνται, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μάζες τους είναι πολύ μικρότερες από τη μάζα του Ήλιου.
Όπως ο πλανήτης μάζας (Μ) σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο, σε κυκλική κίνηση και με γωνιακή ταχύτητα (), η προκύπτουσα δύναμη στον πλανήτη, που ονομάζεται κεντρομετρική δύναμη (Fc), δίνεται από:
φάντο= mω2 ρ
Σε τι:
φάντο:κεντρομόλος δύναμη;
μ: μάζα του πλανήτη
ω: γωνιακή ταχύτητα του πλανήτη.
r: ακτίνα της τροχιάς του πλανήτη.
Η γωνιακή ταχύτητα δίνεται από:
Σε τι:
T: περίοδος επανάστασης στον πλανήτη.
Αντικαθιστώντας την εξίσωση 2 στην εξίσωση 1, έχουμε:
Σημειώστε ότι η κεντρομόλος δύναμη είναι η βαρυτική δύναμη έλξης μεταξύ του Ήλιου και του πλανήτη. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα του Ήλιου ως (M) και την ακτίνα τροχιάς του πλανήτη ως (r), η οποία είναι η απόσταση μεταξύ του Ήλιου και του Πλανήτη, ο Νόμος της Καθολικής Βαρύτητας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Σε τι:
Εξισώνοντας την εξίσωση 3 με 4, θα έχουμε:
Σύντομα:
Κοιτάξτε την εξίσωση 5 και σημειώστε ότι ο όρος 
είναι σταθερή, καθώς τα άγνωστα αναφέρονται στην καθολική σταθερά και τη μάζα του ήλιου, έτσι η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:
Τ2= kr3
Σε τι:
k: σταθερά αναλογικότητας.
Η εξίσωση 6 μας λέει ότι το τετράγωνο της περιόδου της επανάστασης ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο είναι άμεσα ανάλογο με τον κύβο της απόστασης μεταξύ τους.
Με την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όσο πιο μακριά είναι ο πλανήτης από τον Ήλιο, τόσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος της επανάστασης.
Ο Τρίτος Νόμος του Κέπλερ, τον οποίο μόλις καταλήξαμε, ισχύει επίσης σε σχέση με τη Γη για την κίνηση της Σελήνης και των τεχνητών δορυφόρων.
Από τον Nathan Augusto
Αποφοίτησε στη Φυσική
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
FERREIRA, Nathan Augusto. "Έκπτωση του τρίτου νόμου του Κέπλερ". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.
