Ο Σχέδιο Argand-Gauss Αποτελείται από δύο άξονες: έναν κάθετο (γνωστό ως φανταστικό άξονα) και έναν οριζόντιο (γνωστό ως πραγματικός άξονας). Είναι δυνατόν αντιπροσωπεύουν γεωμετρικά σύνθετοι αριθμοίπου είναι σε αλγεβρική μορφή.
Μέσω αυτής της γεωμετρικής αναπαράστασης, είναι δυνατόν αναπτύξτε μερικές έννοιες, όπως η ενότητα και το επιχείρημα ενός σύνθετου αριθμού. Οι σύνθετοι αριθμοί αντιπροσωπεύονται αλγεβρικά με z = a + bi, έτσι αντιπροσωπεύονται από τελείες (a, b), που ονομάζεται επίθετο.
Διαβάστε επίσης: Γεωμετρική αναπαράσταση του αθροίσματος των σύνθετων αριθμών
Γεωμετρική αναπαράσταση σύνθετων αριθμών
Το σύνθετο αεροπλάνο, επίσης γνωστό ως αεροπλάνο Argand-Gauss, δεν είναι τίποτα άλλο από έναΚαρτεσιανό αεροπλάνο για σύνθετους αριθμούς. Στο επίπεδο Argand-Gauss, είναι δυνατόν να αντιπροσωπεύσετε έναν πολύπλοκο αριθμό ως τελεία, γνωστή ως επίθετο. Με την ανάπτυξη του σύνθετου σχεδίου, υπάρχει το ανάπτυξη του αναλυτική γεωμετρία για σύνθετους αριθμούς
, γεγονός που καθιστά δυνατή την ανάπτυξη σημαντικών εννοιών όπως ενότητα και επιχείρημα.Ένας σύνθετος αριθμός που αντιπροσωπεύεται στην αλγεβρική μορφή του είναι z = a + bi, σε τι ο είναι το πραγματικό μέρος και σι είναι το φανταστικό μέρος. Ως εκ τούτου, οι σύνθετοι αριθμοί αντιπροσωπεύονται ως τελεία (a, b). Στο επίπεδο Argand-Gauss, ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας του πραγματικού μέρους και ο κάθετος άξονας είναι ο άξονας του φανταστικού τμήματος.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Πρόσφυμα
Ο σημείο στο επίπεδο που αντιπροσωπεύει έναν πολύπλοκο αριθμό ονομάζεται επίσης επίθετο. Υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις αναπαράστασης: φανταστικές επιθέσεις, πραγματικές επιθέσεις και καθαρές φανταστικές επιθέσεις.
φανταστικά επιθέματα
Ένα επίθετο είναι γνωστό ως φανταστικό όταν ο σύνθετος αριθμός έχει και τα δύο πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος μη μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση η επίθεση είναι ένα σημείο σε οποιοδήποτε από τα τέσσερα τεταρτημόρια, ανάλογα με τις τιμές των a, b και των αντίστοιχων σημείων τους.
Παράδειγμα:
Δείτε την αναπαράσταση των σύνθετων αριθμών z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i και z4= 1 - 4i.
Δείτε επίσης: Ιδιότητες που περιλαμβάνουν πολύπλοκους αριθμούς
καθαρά φανταστικά επιθέματα
Ένας πολύπλοκος αριθμός είναι γνωστός ως καθαρός φανταστικός, όταν το πραγματικό σας μέρος είναι μηδέν, δηλαδή, z = bi. Σημειώστε ότι σε αυτήν την περίπτωση η πρώτη συντεταγμένη είναι πάντα μηδέν, οπότε ας εργαστούμε με σημεία τύπου (0, b). Κατά τη σήμανση στο αεροπλάνο Argand-Gauss, μια καθαρή φανταστική επικόλληση πάντα θα είναι ένα σημείο που ανήκει στον φανταστικό άξονα, δηλαδή, στον κατακόρυφο άξονα.
Παράδειγμα:
Δείτε την αναπαράσταση των σύνθετων αριθμών z1 = 2i και z2= -3i.
πραγματικές επιθέσεις
Ένας σύνθετος αριθμός ταξινομείται ως α πραγματικός αριθμόςόταν σας το φανταστικό μέρος ισούται με το μηδέν, δηλαδή, z = a. Σε αυτήν την περίπτωση, η δεύτερη συντεταγμένη είναι πάντα μηδέν, οπότε θα δουλέψουμε με σημεία τύπου (a, 0), οπότε το φανταστικό μέρος είναι μηδέν και οι επιθέσεις περιέχονται στον πραγματικό άξονα του σύνθετου επιπέδου.
Παράδειγμα:
Δείτε την αναπαράσταση των σύνθετων αριθμών z1 = 2 και z2 = -4.
Σύνθετη ενότητα αριθμών
Όταν αναπαριστάτε έναν σύνθετο αριθμό, αφήστε το P (a, b) να είναι το επίθετο του αριθμού συμπλόκου z = a + bi. Γνωρίζουμε την ενότητα του σύνθετου αριθμού α απόσταση από το σημείο P έως την προέλευση. Ο συντελεστής ενός σύνθετου αριθμού z αντιπροσωπεύεται από | z |. Για να βρούμε την τιμή | z |, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
| z | ² = a² + b²
Μπορούμε επίσης να εκπροσωπήσουμε από:
Παράδειγμα:
Βρείτε το συντελεστή του σύνθετου αριθμού z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| ζ | = 13
Επίσης πρόσβαση: Τι είναι οι λογικοί αριθμοί;
σύνθετο αριθμητικό όρισμα
Ξέρουμε πώς διαφωνία ενός σύνθετου αριθμού Ο γωνία θ που σχηματίζεται από το διάνυσμα OP και τον πραγματικό άξονα. Το όρισμα ενός αριθμού αντιπροσωπεύεται από arg (z) = θ.
Για να βρούμε τη γωνία, χρησιμοποιούμε το τριγωνομετρικές αναλογίες ημιτονοειδές και συνημίτονο.
Για να βρεις την αξία του επιχειρήματος, γνωρίζοντας το ημίτονο και το συνημίτονο συμβουλευτείτε τον πίνακα τιμών για αυτές τις τριγωνομετρικές αναλογίες. Συνήθως, στις εξετάσεις εισόδου στο κολέγιο σχετικά με αυτό το θέμα, το επιχείρημα είναι α αξιοσημείωτη γωνία.
Παράδειγμα:
Βρείτε το σύνθετο αριθμητικό όρισμα z = 1 + i.
Αρχικά ας υπολογίσουμε το συντελεστή του z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| ζ | = √2
Γνωρίζοντας | z |, μπορούμε να υπολογίσουμε το ημιτονοειδές και συνημίτονο της γωνίας.
Η γωνία που έχει ημίτονο και συνημίτονο με τις τιμές που βρέθηκαν είναι 45º.
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Ποιο είναι το επιχείρημα του σύνθετου αριθμού z = √3 + i;
Α) 30η
Β) 45η
Γ) 60ος
Δ) 90º
Ε) 120ος
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Γνωρίζουμε ότι a = √3 και b = 1, έτσι:
Ερώτηση 2 - Στο ακόλουθο σύνθετο σχέδιο, ορισμένοι αριθμοί έχουν αναπαρασταθεί. Αναλύοντας το σχέδιο, μπορούμε να πούμε ότι τα σημεία είναι αναπαραστάσεις καθαρών φανταστικών αριθμών:
Α) Μ, Ν και Ι.
Β) Ρ και Ι.
Γ) L και G.
Δ) O, I, G.
Ε) K, J και L.
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Για τον προσδιορισμό ενός καθαρού φανταστικού αριθμού στο σύνθετο επίπεδο, είναι απαραίτητο να βρίσκεται στην κορυφή του κάθετου άξονα, ο οποίος, στην περίπτωση αυτή, είναι τα σημεία P και I.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
