Στη μελέτη περίπλοκων αριθμών συναντάμε την ακόλουθη ισότητα: i2 = – 1.
Η αιτιολόγηση αυτής της ισότητας συνδέεται συνήθως με την επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού με αρνητικές τετραγωνικές ρίζες, κάτι που είναι λάθος. Η προέλευση της έκφρασης i2 = - 1 εμφανίζεται στον ορισμό των πολύπλοκων αριθμών, ένα άλλο ζήτημα που εγείρει επίσης πολλές αμφιβολίες. Ας κατανοήσουμε τον λόγο αυτής της ισότητας και πώς προκύπτει.
Αρχικά, ας κάνουμε ορισμένους ορισμούς.
1. Ένα ταξινομημένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (x, y) ονομάζεται σύνθετος αριθμός.
2. Σύνθετοι αριθμοί (x1γ1) και (x2γ2) είναι ίσες εάν και μόνο εάν x1 = x2 και γ1 = ε2.
3. Η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός των σύνθετων αριθμών ορίζονται από:
(Χ1γ1) + (x2γ2) = (x1 + x2γ1 + ε2)
(Χ1γ1)*(Χ2γ2) = (x1*Χ2 - ε1* ε2, Χ1* ε2 + ε1*Χ2)
Παράδειγμα 1. Εξετάστε το z1 = (3, 4) και z2 = (2, 5), υπολογίστε το z1 + ζ2 και ζ1* ζ2.
Λύση:
ζ1 + ζ2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
ζ1* ζ2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Χρησιμοποιώντας τον τρίτο ορισμό είναι εύκολο να δείξετε ότι:
(Χ1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(Χ1, 0) * (x2, 0) = (x1*Χ2, 0)
Αυτές οι ισοτιμίες δείχνουν ότι σε σχέση με τις λειτουργίες προσθήκης και πολλαπλασιασμού, οι σύνθετοι αριθμοί (x, y) συμπεριφέρονται σαν πραγματικοί αριθμοί. Σε αυτό το πλαίσιο, μπορούμε να καθορίσουμε την ακόλουθη σχέση: (x, 0) = x.
Χρησιμοποιώντας αυτήν τη σχέση και το σύμβολο i για την αναπαράσταση του σύνθετου αριθμού (0, 1), μπορούμε να γράψουμε οποιονδήποτε σύνθετο αριθμό (x, y) ως εξής:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → που είναι η κανονική μορφή κλήσης ενός σύνθετου αριθμού.
Έτσι, ο σύνθετος αριθμός (3, 4) σε κανονική μορφή γίνεται 3 + 4i.
Παράδειγμα 2. Γράψτε τους ακόλουθους σύνθετους αριθμούς σε κανονική μορφή.
α) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Τώρα παρατηρήστε ότι καλούμε το σύνθετο αριθμό (0, 1). Ας δούμε τι συμβαίνει κατά τη δημιουργία του i2.
Γνωρίζουμε ότι i = (0, 1) και ότι i2 = i * i. Ακολουθήστε αυτό:
Εγώ2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό 3, θα έχουμε:
Εγώ2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Όπως είδαμε νωρίτερα, κάθε σύνθετος αριθμός της φόρμας (x, 0) = x. Ετσι,
Εγώ2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Φτάσαμε στη διάσημη ισότητα i2 = – 1.
Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Σύνθετοι αριθμοί - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm