Μπορούμε να ταξινομήσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τρεις τρόπους:
• SPD - Προσδιορίστηκε το πιθανό σύστημα. υπάρχει μόνο ένα σύνολο λύσεων.
• SPI - Απροσδιόριστο αδύνατο σύστημα. υπάρχουν πολλά σύνολα λύσεων.
• SI - Αδύνατο σύστημα. Δεν είναι δυνατόν να καθοριστεί ένα σύνολο λύσεων.
Ωστόσο, πολλές φορές είμαστε σε θέση να ταξινομήσουμε τα συστήματα μόνο όταν βρισκόμαστε στα τελικά μέρη της επίλυσης καθεμιάς, ή ακόμη και μέσω του υπολογισμού του καθοριστικού παράγοντα. Ωστόσο, όταν πραγματοποιούμε την κλιμάκωση ενός γραμμικού συστήματος, βαδίζουμε με μεγάλη πρόοδο για την απόκτηση του συνόλου λύσεων και την ταξινόμηση του γραμμικού συστήματος.
Αυτό συμβαίνει επειδή το σύστημα γραμμικής κλιμάκωσης έχει έναν γρήγορο τρόπο λήψης των τιμών των αγνώστων, καθώς προσπαθεί να γράψει κάθε εξίσωση με μικρότερο αριθμό αγνώστων.
Για να ταξινομήσετε το γραμμικό σύστημα που έχει κλιμακωθεί, αναλύστε μόνο δύο στοιχεία.
1.Η τελευταία γραμμή του συστήματος που είναι πλήρως κλιμακωτή.
2.Ο αριθμός των άγνωστων σε σύγκριση με τον αριθμό των εξισώσεων που δίνονται στο σύστημα
Στο πρώτα Σε αυτήν την περίπτωση, ενδέχεται να προκύψουν οι ακόλουθες καταστάσεις:
• Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με ένα άγνωστο, το σύστημα θα είναι SPD. Παράδειγμα: 2x = 4; 3y = 12; z = 1
• Ισότητα χωρίς άγνωστα: υπάρχουν δύο δυνατότητες, αληθινές ισοτιμίες (0 = 0; 1 = 1;…) και false ισούται με (1 = 0; 2 = 8). Όταν έχουμε αληθινά ίσα, θα ταξινομήσουμε το σύστημά μας ως SPI, ενώ με ψευδείς εξισώσεις το σύστημά μας θα είναι αδύνατο (SI).
• Εξίσωση με μηδενικό συντελεστή. Σε αυτήν την περίπτωση υπάρχουν επίσης δύο δυνατότητες, μία στην οποία ο ανεξάρτητος όρος είναι μηδενικός και μία στην οποία δεν είναι.
• Όταν έχουμε μια εξίσωση με μηδενικούς συντελεστές και μηδενικό ανεξάρτητο όρο, θα ταξινομήσουμε το σύστημά μας ως SPI, επειδή θα έχουμε άπειρες τιμές που θα ικανοποιήσουν αυτήν την εξίσωση, ελέγξτε αυτό: 0.t = 0
Όποια τιμή και αν είναι τοποθετημένη στο άγνωστο t, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν, καθώς οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος με μηδέν είναι μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι το άγνωστο t είναι δωρεάν άγνωστο, καθώς μπορεί να πάρει οποιαδήποτε αξία, έτσι αποδίδουμε σε αυτό μια αναπαράσταση οποιασδήποτε αξίας, η οποία στα μαθηματικά γίνεται μέσω ενός γράμματος.
• Όταν έχουμε μια εξίσωση μηδενικών συντελεστών και ανεξάρτητου όρου διαφορετικού από το μηδέν, θα ταξινομήσουμε το σύστημά μας ως SI, γιατί για οποιαδήποτε τιμή που υποτίθεται, δεν θα είναι ποτέ ίση με επιθυμητή τιμή. Δείτε ένα παράδειγμα:
0.t = 5
Όποια και αν είναι η τιμή του t, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα μηδέν, δηλαδή, αυτή η εξίσωση θα έχει πάντα τη μορφή (0 = 5), για όποια και αν είναι η τιμή του άγνωστου t. Για αυτόν τον λόγο, λέμε ότι ένα σύστημα που έχει μια εξίσωση με αυτόν τον τρόπο είναι ένα άλυτο, αδύνατο σύστημα.
Στο δεύτερος Σε αυτήν την περίπτωση, όταν ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων, δεν θα έχουμε ποτέ ένα δυνατό και καθορισμένο σύστημα, αφήνοντάς μας μόνο τις άλλες δύο δυνατότητες. Αυτές οι δυνατότητες μπορούν να αποκτηθούν πραγματοποιώντας τη σύγκριση που αναφέρεται στα προηγούμενα θέματα. Ας δούμε δύο παραδείγματα που καλύπτουν αυτές τις δυνατότητες:
Σημειώστε ότι κανένα από τα συστήματα δεν έχει κλιμακωθεί.
Ας προγραμματίσουμε το πρώτο σύστημα.
Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση και προσθέτοντάς την στη δεύτερη, έχουμε το ακόλουθο σύστημα:
Αναλύοντας την τελευταία εξίσωση βλέπουμε ότι είναι ένα αδύνατο σύστημα, καθώς δεν μπορούμε ποτέ να βρούμε μια τιμή που να ικανοποιεί την εξίσωση.
Κλιμάκωση του δεύτερου συστήματος:
Κοιτάζοντας την τελευταία εξίσωση, είναι ένα απροσδιόριστο πιθανό σύστημα.
Από τον Gabriel Alessandro de Oliveira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificando-as-solucoes-um-sistema-linear-escalonado.htm
