Το Θεώρημα του D'Alembert

Το θεώρημα του D'Alembert είναι μια άμεση συνέπεια του υπολοίπου θεώρηματος, το οποίο αφορά τη διαίρεση του πολυωνύμου από το διωνυμικό του τύπου x - a. Το υπόλοιπο θεώρημα λέει ότι ένα πολυώνυμο G (x) διαιρούμενο με ένα διωνυμικό x - a θα έχει το υπόλοιπο R ίσο με το P (a), για
x = α. Ο Γάλλος μαθηματικός D'Alembert απέδειξε, λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω θεώρημα, ότι ένα πολυώνυμο οποιοδήποτε Q (x) θα διαιρείται με x - a, δηλαδή, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ίσο με μηδέν (R = 0) εάν P (a) = 0.
Αυτό το θεώρημα διευκόλυνε τον υπολογισμό της διαίρεσης του πολυωνύμου με το διωνυμικό (x –a), οπότε δεν είναι απαραίτητο να επιλυθεί ολόκληρη η διαίρεση για να γνωρίζουμε εάν το υπόλοιπο είναι ίσο ή διαφορετικό από το μηδέν.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x² + 3x - 10): (x - 3).
Όπως λέει το Θεώρημα του D'Alembert, το υπόλοιπο (R) αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με:
Ρ (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Έτσι, το υπόλοιπο αυτής της κατηγορίας θα είναι 8.
Παράδειγμα 2

Ελέγξτε εάν x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 διαιρείται με x - 1.
Σύμφωνα με τον D'Alembert, ένα πολυώνυμο διαιρείται από ένα διωνυμικό εάν P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Επειδή το P (1) είναι μη μηδενικό, το πολυώνυμο δεν θα διαιρείται από το διωνυμικό x - 1.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε την τιμή του m έτσι ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου
P (x) = x⁴ - mx³ + 5χ² + x - 3 επί x - 2 είναι 6.
Έχουμε αυτό, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 3x³ + x² - 6x + 7 επί 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

από τον Mark Noah
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Πολυώνυμα - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm