Τριγωνική μήτρα: τύποι, καθοριστικοί παράγοντες, ασκήσεις

Η μήτρα είναι τριγωνική όταν τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνια ή στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνια είναι όλα μηδενικά. Υπάρχουν δύο πιθανές ταξινομήσεις για αυτόν τον τύπο μήτρας: η πρώτη είναι όταν τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνια είναι μηδενικά, η οποία δημιουργεί μια κατώτερη τριγωνική μήτρα. Το δεύτερο είναι όταν τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνια είναι μηδενικά, δημιουργώντας μια άνω τριγωνική μήτρα.

Για να υπολογίσετε τον καθοριστικό παράγοντα ενός τριγωνικού πίνακα με τον κανόνα του Sarrus, απλώς εκτελέστε τον κύριο διαγώνιο πολλαπλασιασμό, καθώς οι άλλοι πολλαπλασιασμοί θα είναι όλοι ίσοι με το μηδέν.

Διαβάστε επίσης: Array - τι είναι και υπάρχοντες τύποι

Η τριγωνική μήτρα είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση μήτρας.

Τύποι τριγωνικών πινάκων

Για να καταλάβουμε τι είναι μια τριγωνική μήτρα, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ποια είναι η κύρια διαγώνια μιας τετραγωνικής μήτρας, η οποία είναι η μήτρα που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών. Η κύρια διαγώνια του πίνακα είναι οι όροι α.

_ij, όπου i = j, δηλαδή, είναι οι όροι με τους οποίους ο αριθμός σειράς είναι ίσος με τον αριθμό στήλης.

Παράδειγμα:

Οι όροι στην κύρια διαγώνια επισημαίνονται με κόκκινο χρώμα.

Κατανοώντας τι είναι μια τετραγωνική μήτρα και ποια είναι η κύρια διαγώνια της, ας γνωρίζουμε τι είναι μια τριγωνική μήτρα και τις ταξινομήσεις της. Υπάρχουν δύο πιθανές ταξινομήσεις για το τριγωνικό πλέγμα: οκατώτερη τριγωνική μήτρα και άνω τριγωνική μήτρα.

• Κάτω τριγωνική μήτρα: εμφανίζεται όταν όλοι οι όροι πάνω από την κύρια διαγώνια είναι ίσοι με το μηδέν και οι όροι κάτω από την κύρια διαγώνια είναι πραγματικοί αριθμοί.

Αριθμητικό παράδειγμα:

• Άνω τριγωνική μήτρα: συμβαίνει όταν όλοι οι όροι κάτω από την κύρια διαγώνια είναι ίσοι με μηδέν και οι όροι πάνω από την κύρια διαγώνια είναι πραγματικοί αριθμοί.

Αριθμητικό παράδειγμα:

διαγώνια μήτρα

Η διαγώνια μήτρα είναι α συγκεκριμένη περίπτωση τριγωνικής μήτρας. Σε αυτό, οι μόνοι όροι που είναι μη μηδενικοί είναι εκείνοι που περιέχονται στην κύρια διαγώνια. Οι όροι πάνω ή κάτω από την κύρια διαγώνια είναι όλοι ίσοι με το μηδέν.

Αριθμητικά παραδείγματα διαγώνιας μήτρας:

Προσδιοριστής τριγωνικής μήτρας

Δεδομένου ενός τριγωνικού πίνακα, κατά τον υπολογισμό του καθοριστικού παράγοντα αυτού του πίνακα Ο κανόνας του Sarrus, μπορείτε να δείτε ότι όλοι οι πολλαπλασιασμοί είναι ίσοι με το μηδέν, εκτός από τον πολλαπλασιασμό του όρου της κύριας διαγώνιας.

det (A) = α₁₁ · ένα₂₂· ένα₃₃ + το₁₂ · ένα₂₃ · 0 + το₁₃ · 0 · 0 - ( Ο₁₃ ·Ο₂₃ ·0 + το₁₁ · ένα₂₃ · 0 + το₁₂ · 0· ένα₃₃)

Σημειώστε ότι σε όλους τους όρους εκτός από τον πρώτο, το μηδέν είναι ένας από τους παράγοντες και όλοι πολλαπλασιασμός με το μηδέν είναι ίσο με το μηδέν, έτσι:

det (A) = α₁₁ · ένα₂₂· ένα₃₃

Σημειώστε ότι αυτό είναι το προϊόν μεταξύ των όρων της κύριας διαγώνιας.

Ανεξάρτητα από τον αριθμό των σειρών και στηλών που έχει μια τριγωνική μήτρα, είναι καθοριστής θα είναι πάντα ίσος με το προϊόν των όρων της κύριας διαγώνιας.

Δείτε επίσης: Καθοριστικό - χαρακτηριστικό που εφαρμόζεται σε τετραγωνικούς πίνακες

Τριγωνικές ιδιότητες μήτρας

Η τριγωνική μήτρα έχει ορισμένες συγκεκριμένες ιδιότητες.

• 1ο ακίνητο: ο καθοριστής μιας τριγωνικής μήτρας είναι ίσος με το προϊόν των όρων της κύριας διαγώνιας.
• 2ο ακίνητο: το προϊόν μεταξύ δύο τριγωνικών πινάκων είναι μια τριγωνική μήτρα.
• 3η ιδιοκτησία: εάν ένας από τους όρους της κύριας διαγώνιας της τριγωνικής μήτρας είναι ίσος με μηδέν, τότε ο καθοριστής του θα είναι ίσος με μηδέν και, κατά συνέπεια, δεν θα είναι αναστρέψιμος.
• 4η ιδιοκτησία: η αντίστροφη μήτρα ενός τριγωνικού πίνακα είναι επίσης μια τριγωνική μήτρα.
• 5η ιδιοκτησία: το άθροισμα των δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι ένα ανώτερο τριγωνικό πλέγμα. Παρομοίως, το άθροισμα δύο κατώτερων τριγωνικών πινάκων είναι ένα κατώτερο τριγωνικό πλέγμα.

λύσεις ασκήσεις

1) Δεδομένου του πίνακα A, η τιμή του προσδιοριστή του Α είναι:

Α2

β) 0

γ) 9

δ) 45

ε) 25

Ανάλυση

Εναλλακτική d.

Αυτός ο πίνακας είναι χαμηλότερος τριγωνικός, οπότε ο καθοριστικός παράγοντας είναι ο πολλαπλασιασμός των όρων στην κύρια διαγώνια.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις.

I → Κάθε τετραγωνική μήτρα είναι τριγωνική.

II → Το άθροισμα μιας άνω τριγωνικής μήτρας με μια κατώτερη τριγωνική μήτρα είναι πάντα μια τριγωνική μήτρα.

III → Κάθε διαγώνιος πίνακας ταυτότητας είναι ένας τριγωνικός πίνακας.

Η σωστή σειρά είναι:

α) V, V, V.

β) F, F, F.

γ) F, V, F.

δ) F, F, V.

ε) V, V, F.

Ανάλυση

Εναλλακτική d.

I → False, επειδή κάθε τριγωνικός πίνακας είναι τετράγωνος, αλλά όχι κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι τριγωνικός.

II → False, καθώς το άθροισμα μεταξύ άνω και κάτω τριγωνικού πίνακα δεν οδηγεί πάντα σε τριγωνικό πίνακα.

III → Αλήθεια, καθώς οι όροι διαφορετικοί από τη διαγώνια είναι ίσοι με μηδέν.

Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm