Ρύθμιση με επανάληψη: τι είναι, τύπος, παραδείγματα

Ξέρουμε πώς επαναλαμβανόμενη ρύθμιση ή πλήρης διάταξη, όλες τις ταξινομημένες ομαδοποιήσεις με τις οποίες μπορούμε να σχηματίσουμε κ στοιχεία ενός συνόλου με όχι στοιχεία, με ένα στοιχείο του όχι μπορεί να εμφανιστεί περισσότερες από μία φορές. Ο συνδυαστική ανάλυση Είναι ο τομέας των μαθηματικών που αναπτύσσει τεχνικές μέτρησης για να βρει το μέγεθος των δυνατοτήτων για ομαδοποίηση σε ορισμένες καταστάσεις.

Μεταξύ αυτών των ομαδοποιήσεων είναι η διάταξη με επανάληψη, παρούσα, για παράδειγμα, στο δημιουργία κωδικών πρόσβασης, πινακίδες, μεταξύ άλλων. Για την επίλυση αυτών των καταστάσεων, εφαρμόζουμε τον τύπο ρύθμισης με επανάληψη ως τεχνική μέτρησης. Υπάρχουν διαφορετικοί τύποι για τον υπολογισμό της επαναλαμβανόμενης διάταξης και της μη επαναλαμβανόμενης διάταξης, επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζετε πώς να διαφοροποιήσετε καθεμία από αυτές τις καταστάσεις προκειμένου να εφαρμόσετε τη σωστή τεχνική μέτρησης.

Διαβάστε επίσης: Θεμελιώδης αρχή της μέτρησης - κύρια έννοια της συνδυαστικής ανάλυσης

Τι είναι η ρύθμιση με την επανάληψη;

Υπάρχει μια ρύθμιση με επανάληψη στην παραγωγή πινακίδων οχήματος. [1]

Στην καθημερινή μας ζωή, αντιμετωπίζουμε καταστάσεις που περιλαμβάνουν ακολουθίες και ομαδοποιήσεις, οι οποίες εμφανίζονται στο επιλέξτε κωδικούς πρόσβασης από κοινωνικά δίκτυα ή τράπεζα, καθώς και σε αριθμούς τηλεφώνου ή καταστάσεις που συνεπάγονται ουρές Τέλος πάντων, περιβάλλουμε καταστάσεις που περιλαμβάνουν αυτές τις ομάδες.

Για παράδειγμα, στις πινακίδες κυκλοφορίας, οι οποίες αποτελούνται από τρία γράμματα και τέσσερις αριθμούς, υπάρχει ένα μοναδική συμβολοσειρά κατά κατάσταση που προσδιορίζει κάθε ένα από τα αυτοκίνητα, σε αυτήν την περίπτωση, συνεργαζόμαστε ετοιμασίες. Όταν είναι δυνατή η επανάληψη των στοιχείων, εργαζόμαστε με την πλήρη διάταξη ή τη ρύθμιση με την επανάληψη.

Δίνεται ένα σετ με όχι στοιχεία, ξέρουμε ως ρύθμιση με την επανάληψη όλες τις ομάδες που μπορούμε να σχηματίσουμε κ στοιχεία αυτού σειρά, όπου ένα στοιχείο μπορεί να επαναληφθεί περισσότερες από μία φορές. Στις πινακίδες οχημάτων, για παράδειγμα, είναι ο αριθμός πιθανών πινακίδων που μπορούμε να σχηματίσουμε, λαμβάνοντας λαμβάνοντας υπόψη ότι έχουν τρία γράμματα και τέσσερις αριθμούς και ότι τα γράμματα και οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν.

Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των πιθανών επαναλαμβανόμενων ρυθμίσεων, χρησιμοποιούμε έναν πολύ απλό τύπο.

Τύπος ρύθμισης με επανάληψη

Για να βρείτε το πλήρες ποσό της διευθέτησης όχι διακριτά στοιχεία που λαμβάνονται από κ σε

ω, σε μια δεδομένη κατάσταση που επιτρέπει την επανάληψη ενός στοιχείου, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

ΑΕΡΑΣ_όχι,_κ = όχι^κ

AR → επαναλαμβανόμενη διάταξη
όχι → αριθμός στοιχείων στο σύνολο
κ → αριθμός στοιχείων που θα επιλεγούν

Δείτε επίσης: Απλός συνδυασμός - μετρήστε όλα τα υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου

Πώς να υπολογίσετε τον επαναλαμβανόμενο αριθμό ρύθμισης

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς να εφαρμόσετε τον τύπο επαναλαμβανόμενης ρύθμισης, δείτε το παρακάτω παράδειγμα.

Παράδειγμα 1:

Ένας κωδικός τράπεζας αποτελείται από πέντε ψηφία που αποτελείται αποκλειστικά από αριθμούς, ποιος είναι ο αριθμός των πιθανών κωδικών πρόσβασης;

Γνωρίζουμε ότι ο κωδικός πρόσβασης είναι μια πενταψήφια συμβολοσειρά και ότι δεν υπάρχει περιορισμός στις επαναλήψεις, επομένως θα εφαρμόσουμε τον τύπο ρύθμισης με την επανάληψη. Ο χρήστης πρέπει να επιλέξει, μεταξύ 10 ψηφίων, τα οποία θα συνθέσουν καθένα από τα πέντε ψηφία αυτού του κωδικού πρόσβασης, δηλαδή θέλουμε να υπολογίσουμε τη διάταξη με την επανάληψη 10 στοιχείων που λαμβάνονται κάθε πέντε.

ΑΕΡΑΣ_10,5 = 10⁵ = 10.000

Υπάρχουν λοιπόν 10.000 δυνατότητες κωδικού πρόσβασης.

Παράδειγμα 2:

Γνωρίζοντας ότι οι πινακίδες οχημάτων αποτελούνται από τρία γράμματα και τέσσερις αριθμούς, πόσες πινακίδες κυκλοφορίας μπορείτε να σχηματίσετε;

Το αλφάβητό μας αποτελείται από 26 γράμματα και υπάρχουν 10 πιθανοί αριθμοί, οπότε ας χωριστούμε σε δύο πλήρεις πίνακες και βρούμε τον αριθμό πιθανών συστοιχιών για τα γράμματα και τους αριθμούς.

ΑΕΡΑΣ_26,3 = 26³ = 17.576
ΑΕΡΑΣ₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Έτσι, το σύνολο των πιθανών ρυθμίσεων είναι:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Διαφορά μεταξύ απλής διάταξης και επανάληψης

Η διαφοροποίηση της απλής ρύθμισης από τη διάταξη με την επανάληψη είναι απαραίτητη για την επίλυση προβλημάτων στο θέμα. Το σημαντικό πράγμα για τη διαφοροποίηση είναι να συνειδητοποιήσουμε ότι όταν αντιμετωπίζουμε μια κατάσταση στην οποία υπάρχουν ομαδοποιήσεις των οποίων η σειρά είναι σημαντική, είναι μιας ρύθμισης, και εάν αυτές οι ομαδοποιήσεις αναγνωρίζουν την επανάληψη μεταξύ όρων, είναι μια ρύθμιση με την επανάληψη, επίσης γνωστή ως ρύθμιση πλήρης. Όταν η ομαδοποίηση δεν επιτρέπει την επανάληψη, είναι περίπου μια απλή ρύθμιση.

Ο απλός τύπος ρύθμισης είναι διαφορετικός από αυτόν που χρησιμοποιούμε για τη ρύθμιση επανάληψης.

Έχουμε δει παραδείγματα επαναλαμβανόμενης ρύθμισης νωρίτερα, τώρα δείτε ένα παράδειγμα απλής ρύθμισης

Παράδειγμα:

Ο Πάολο θέλει να βάλει στο ράφι του τρία από τα 10 σχολικά του βιβλία, όλα διαφορετικά το ένα από το άλλο, πόσους τρόπους μπορεί να οργανώσει αυτά τα βιβλία;

Σημειώστε ότι, στην περίπτωση αυτή, η παραγγελία είναι σημαντική, αλλά δεν υπάρχουν επαναλήψεις, καθώς είναι μια απλή ρύθμιση. Για να βρούμε τον αριθμό των πιθανών ομαδοποιήσεων, πρέπει:

Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτήν την άλλη μορφή ομαδοποίησης που χρησιμοποιείται στη συνδυαστική ανάλυση, διαβάστε το κείμενο: Οαπλή ρύθμιση.

Λύσεις ασκήσεων:

Ερώτηση 1 - (Enem) Μια τράπεζα ζήτησε από τους πελάτες της να δημιουργήσουν έναν εξαψήφιο κωδικό πρόσβασης, που αποτελείται μόνο από αριθμούς από 0 έως 9, για πρόσβαση στον λογαριασμό ελέγχου μέσω του Διαδικτύου. Ωστόσο, ένας ειδικός στα ηλεκτρονικά συστήματα ασφαλείας συνέστησε στη διεύθυνση της τράπεζας να εγγράψει εκ νέου τους χρήστες της, ζητώντας το καθένα από αυτά, τη δημιουργία ενός νέου κωδικού πρόσβασης με έξι ψηφία, επιτρέποντας τώρα τη χρήση των 26 γραμμάτων του αλφαβήτου, εκτός από τα ψηφία από 0 έως 9. Σε αυτό το νέο σύστημα, κάθε κεφαλαίο γράμμα θεωρήθηκε ξεχωριστό από την πεζά έκδοση. Επιπλέον, απαγορεύτηκε η χρήση άλλων τύπων χαρακτήρων.

Ένας τρόπος για να αξιολογήσετε μια αλλαγή στο σύστημα κωδικών πρόσβασης είναι να ελέγξετε τον συντελεστή βελτίωσης, ο οποίος είναι ο λόγος για τον νέο αριθμό δυνατοτήτων κωδικού πρόσβασης σε σχέση με τον παλιό. Ο συνιστώμενος συντελεστής βελτίωσης αλλαγών είναι:

Ανάλυση

Εναλλακτική Α

Ο παλιός κωδικός πρόσβασης είναι ένας πίνακας με επανάληψη, καθώς μπορεί να αποτελείται από όλους τους αριθμούς, οπότε είναι ένας πίνακας 10 στοιχείων που λαμβάνονται κάθε έξι.

ΑΕΡΑΣ_10,6 = 10⁶

Ο νέος κωδικός πρόσβασης μπορεί να αποτελείται από 10 ψηφία και επίσης κεφαλαία γράμματα (26 γράμματα) και πεζά (26 γράμματα), οπότε ο κωδικός πρόσβασης έχει, για κάθε ψηφίο, ένα σύνολο 10 + 26 + 26 = 62 δυνατότητες. Δεδομένου ότι υπάρχουν έξι ψηφία, θα υπολογίσουμε τη διάταξη με επανάληψη 62 στοιχείων που λαμβάνονται κάθε έξι.

ΑΕΡΑΣ_62,6 = 62⁶

Ο λόγος του νέου αριθμού δυνατοτήτων κωδικού πρόσβασης σε σύγκριση με τον παλιό είναι ίσο με 62⁶/10⁶.

Ερώτηση 2 - (Enem 2017) Μια εταιρεία θα κατασκευάσει τον ιστότοπό της και ελπίζει να προσελκύσει ένα κοινό περίπου ενός εκατομμυρίου πελατών. Για να αποκτήσετε πρόσβαση σε αυτήν τη σελίδα, θα χρειαστείτε έναν κωδικό πρόσβασης με μορφή που θα καθοριστεί από την εταιρεία. Υπάρχουν πέντε επιλογές μορφής που προσφέρονται από τον προγραμματιστή, που περιγράφονται στον πίνακα, όπου τα «L» και «D» αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, κεφαλαίο γράμμα και ψηφίο.

Τα γράμματα αλφαβήτου, μεταξύ των 26 πιθανών, καθώς και τα ψηφία, μεταξύ των 10 πιθανών, μπορούν να επαναληφθούν σε οποιαδήποτε από τις επιλογές.

Η εταιρεία θέλει να κάνει μια επιλογή μορφής της οποίας ο αριθμός των πιθανών διακριτών κωδικών πρόσβασης είναι μεγαλύτερος από αναμενόμενος αριθμός πελατών, αλλά αυτός ο αριθμός δεν υπερβαίνει το διπλάσιο του αναμενόμενου αριθμού των οι πελάτες.

Ανάλυση

Εναλλακτική Ε

Υπολογίζοντας κάθε μία από τις δυνατότητες, θέλουμε να βρούμε τον κωδικό πρόσβασης που έχει περισσότερες από ένα εκατομμύριο δυνατότητες και λιγότερες από δύο εκατομμύρια δυνατότητες.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ είναι μεγαλύτερο από δύο εκατομμύρια, επομένως δεν ικανοποιεί το αίτημα της εταιρείας.

II → DDDDDD

10⁶ ισούται με ένα εκατομμύριο, οπότε δεν ικανοποιεί το αίτημα της εταιρείας.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ είναι μεγαλύτερο από δύο εκατομμύρια, επομένως δεν ικανοποιεί το αίτημα της εταιρείας.

IV → DDDDD

10⁵ είναι λιγότερο από ένα εκατομμύριο, οπότε δεν ικανοποιεί το αίτημα της εταιρείας.

V → LLLDD

26³ · 10² είναι μεταξύ ενός εκατομμυρίου και δύο εκατομμυρίων, επομένως αυτό το πρότυπο κωδικού πρόσβασης είναι ιδανικό.

Πιστωτική εικόνα

[1] Ραφαέλ Μπερλάντι / Σάττερκοκ

Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm