Umfang: Elemente, Formeln, Übungen

DAS Umfang ist eine flache geometrische Figur, die von gebildet wird Vereinigung von äquidistanten Punktend.h. sie haben den gleichen Abstand von einem Fixpunkt, dem Mittelpunkt. Das Studium des Umfangs ist auch in der analytische Geometrie, in der es möglich ist, eine Gleichung abzuleiten, die es repräsentiert.

Obwohl die Kreis und Umfang sind flache geometrische Figuren mit einigen gemeinsamen Elementen, was meist zu Zweifeln führt, diese Figuren weisen wichtige Unterschiede auf, insbesondere in Bezug auf die Dimensionalität.

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Elemente des Kreises

Beachten Sie den Umfang:

Der Punkt Ç es heißt Mittelpunkt des Kreises, und beachten Sie, dass die Punkte A und B dazu gehören. Das Segment, das die Enden des durch den Mittelpunkt verlaufenden Kreises verbindet, wird als bezeichnet Durchmesser. Auf dem vorherigen Umfang müssen wir dann der Durchmesser ist das AB-Segment.

Zum den Durchmesser halbieren, erhalten wir den Radius des Umfangs, d. h. die

Radius (r) eines Kreises es ist das Segment, das die Mitte und das Ende verbindet. In diesem Fall ist der Radius das CB-Segment. Wir können eine mathematische Beziehung zwischen diesen beiden Elementen herstellen, da der Durchmesser das Doppelte des Radius beträgt.

d = 2 · r

• Beispiel

Bestimmen Sie den Radius eines Kreises mit einem Durchmesser von 40 cm.

Wir wissen, dass der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius:

Umfangslänge

Betrachten Sie einen Kreis mit einem Radius von r. Ö Länge oder Umfang des Umfangs ist gegeben durch das Produkt von çkonstantes pi (π) um den doppelten Radius.

Wenn wir die Länge oder den Umfang eines Kreises berechnen, bestimmen wir die Größe der Linie grün in der vorherigen Zeichnung, und ersetzen Sie dazu einfach den Radiuswert in der Formel, die weitergeht zu Zahl.

• Beispiel

Bestimmen Sie die Länge des Umfangs von Radius 5 cm.

Der Radius des Kreises beträgt 5 cm. Um die Länge des Kreises zu bestimmen, müssen wir diesen Wert in die Formel einsetzen.

C = 2πr

C = 2(3.14)(5)

C = 6,24 · 5

C = 31,2 cm

Auch sehen: Konstruktion von beschrifteten Polygonen

Umfangsbereich

Betrachten Sie einen Kreis mit Radius r. Um Ihre Fläche zu berechnen, müssen wir multiplizieren Sie das Quadrat des Radiuswertes mit π.

Wenn wir die Fläche des Kreises berechnen, bestimmen wir das Oberflächenmaß, also den gesamten Bereich innerhalb des Kreises.

• Beispiel

Bestimmen Sie die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 4 cm.

Wir haben, dass der Radius des Umfangs gleich 4 cm ist, also können wir dieses Maß in die Formel für die Fläche einsetzen. Aussehen:

A = π · r²

A = 3,14 · (4)²

A = 3,14 · 16

H = 50,24 cm²

Umfangsreduzierte Gleichung

Wir wissen, dass ein Kreis gebildet werden kann durch Sammlung von Punkten, die den gleichen Abstand haben von einem festen Punkt, der Ursprung oder Mittelpunkt genannt wird. Betrachten Sie also einen Fixpunkt im Kartesische Ebene O(a, b). Die Menge von Punkten – repräsentiert durch P(x, y) – die den gleichen Abstand r von diesem Fixpunkt haben, bilden einen Kreis mit Radius r.

Beachten Sie, dass die Punkte der Form P(x, y) alle den gleichen Abstand vom Punkt O(a, b) haben, dh der Abstand zwischen den Punkten O und P ist gleich dem Radius des Kreises, so:

Beim reduzierte Gleichung, beachten Sie, dass die Zahlen Das und B sind die Koordinaten des Kreismittelpunkts und das r ist das Maß für den Radius.

• Beispiel

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und das Maß für den Radius des Kreises, der eine Gleichung hat:

a) (x – 2)² + (j – 6)² = 36

Wenn wir diese Gleichung mit der reduzierten Gleichung vergleichen, erhalten wir:

(x- Das)² + (j – B)² = r²

(x- 2)² + (j –6)² = 36

Sehen Sie, dass a = 2, b = 6 und r² = 36. Die einzige zu lösende Gleichung lautet:

r² = 36

r = 6

Daher ist die Koordinate des Zentrums: O(2, 6) und die Radiuslänge ist 6.

b) (x – 5)² + (j + 3)² = 121

Ebenso haben wir:

(x- Das)² + (j – B)² = r²

(x – 5)² + (j + 3)² = 121

a = 5

– b = 3

b = –3

Während der Radiuswert gegeben ist durch:

r² = 121

r = 11

c) x² + ja² = 1

(x- Das)² + (j – B)² = r²

x² + ja² = 1

Beachten Sie, dass x² = (x + 0)² Andy² = (j + 0)² . Also müssen wir:

(x- Das)² + (j – B)² = r²

(x + 0)² + (j + 0)² = 1

Daher ist die Koordinate des Zentrums O(0, 0) und der Radius ist gleich 1.

Auch zugreifen: Wie finde ich den Mittelpunkt eines Kreises?

allgemeine Kreisgleichung

Um die allgemeine Kreisgleichung zu bestimmen, müssen wir Entwickle die reduzierte Gleichung ihr. Betrachten Sie also einen Kreis mit einem Mittelpunkt bei den Koordinaten O(a, b) und dem Radius r.

Zunächst entwickeln wir die Terme quadriert mit dem bemerkenswerte Produkte; dann übergeben wir alle Nummern an das erste Mitglied; und schließlich werden wir die Terme mit dem gleichen Literalkoeffizienten, also die mit den gleichen Buchstaben, verbinden. Aussehen:

• Beispiel

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den mittleren Radius des Kreises, der eine Gleichung hat:

a) x² + ja² – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Um den Radius und die Koordinaten des Kreises mit dieser Gleichung zu bestimmen, müssen wir sie mit der allgemeinen Gleichung vergleichen. Aussehen:

x² + ja² – 2.x- 2by + Das² + B² –r² = 0

x² + ja² – 4x- 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Aus den Vergleichen in Grün müssen wir:

2. = 4

a = 2

oder

Das² = 4

a = 2

Aus den Vergleichen in Rot haben wir das:

2b = 6

b = 3

oder

B² = 9

b = 3

Somit können wir sagen, dass das Zentrum die Koordinate O(2, 3) hat. Wenn wir nun den Wert von r vergleichen, haben wir:

r² = 49

r = 7

Daher hat der Radius des Kreises eine Länge von 7.

b) x² + ja² – 10x + 14y + 10 = 0

Vergleichen wir auf ähnliche Weise die Gleichungen:

x² + ja² – 2.x- 2by + Das² + b² – r² = 0

x² + ja² –10x + 14y + 10 = 0

2. = 10

a = 5

Bestimmung des Wertes von b:

–2b = 14

b = – 7

Beachten Sie jetzt, dass:

Das² + b² – r² = 10

Da wir die Werte von a und b kennen, können wir sie in der Formel einsetzen. Aussehen:

Das² + b² – r² = 10

5² + (–7)² – r² = 10

25 + 49 - r² = 10

74 – r² = 10

– r² = 10 – 74

(–1) – r² = –64 (–1)

r² = 64

r = 8

Daher sind die Koordinaten des Zentrums O (5, –7) und der Radius hat eine Länge von 8.

Ein Kreis ist eine flache Figur, die durch die Vereinigung äquidistanter Punkte gebildet wird.

Unterschiede zwischen Umfang und Kreis

Der Unterschied zwischen einem Kreis und einem Kreis betrifft die Anzahl der Dimensionen jedes Elements. Während der Kreis eine Dimension hat, hat der Kreis zwei.

Ein Kreis ist ein Bereich in der Ebene, der aus Punkten besteht, die alle gleich weit von einem festen Punkt, dem Ursprung, entfernt sind. Der Kreis besteht aus jeder Region innerhalb des Kreises. Sehen Sie den Unterschied in Bildern:

Auch sehen:Umfangslänge und Kreisfläche

gelöste Übungen

Frage 1 – Ein Umfang hat einen Umfang von 628 cm. Bestimmen Sie den Durchmesser dieses Kreises (übernehmen Sie π = 3,14).

Auflösung

Da der Umfang 628 cm beträgt, können wir diesen Wert in den Umfangslängenausdruck einsetzen.

Frage 2 – Zwei Kreise sind konzentrisch, wenn sie den gleichen Mittelpunkt haben. Bestimmen Sie in diesem Wissen den Bereich der leeren Figur.

Auflösung

Beachten Sie, dass wir, um die Fläche der Region in Weiß zu bestimmen, die Fläche des größeren Kreises und dann die des kleineren Kreises in Blau bestimmen müssen. Beachten Sie auch, dass beim Entfernen des blauen Kreises nur der gewünschte Bereich übrig bleibt, sodass wir diese Bereiche subtrahieren müssen. Aussehen:

DAS_GRÖSSER = r²

DAS_GRÖSSER = (3,14) · (9)²

DAS_GRÖSSER = (3,14) · 81

DAS_GRÖSSER = 254,34 cm²

Berechnen wir nun die Fläche des blauen Kreises:

DAS_KLEINER = r²

DAS_KLEINER = (3,14) · (5)²

DAS_KLEINER = (3,14) · 25

DAS_KLEINER = 78,5 cm²

Somit ergibt sich die Leerfläche aus der Differenz zwischen der größeren Fläche und der kleineren Fläche.

DAS_WEISS = 254,34 – 78,5

DAS_WEISS = 175,84 cm²

von Robson Luis
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm