Ö minimales gemeinsames Vielfaches (MMC) zwischen zwei ganzen Zahlen x und y ist die kleinste ganze Zahl, die gleichzeitig ein Vielfaches von x und y ist. Auf diese Weise gibt es mindestens eine Möglichkeit, die MMC zwischen zwei Zahlen x und y: Durchsuche die Menge der Vielfachen von x und y nach dem kleinsten gemeinsamen Element. Natürlich gibt es eine praktische Methode, um diese Zahl zu finden, die weiter unten diskutiert wird. Es ist jedoch notwendig, das Konzept der Vielfachen einer ganzen Zahl gut zu verstehen.
Was sind Vielfache?
Eine ganze Zahl k heißt a mehrere von x, wenn es eine natürliche Zahl n mit n·x = k gibt. Nehmen Sie das Beispiel der Zahl 110. Er ist mehrere von 10, da 110 das Ergebnis der Multiplikation von 10 mit der natürlichen Zahl 11 ist.
Auf diese Weise kann festgestellt werden, ob die ganze Zahl k mehrere von x durch Versuch und Irrtum oder durch Ausführen der inversen Operation der Multiplikation (Division). Die Zahl k ist ein Vielfaches von x, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass:
n = k
x
Mit anderen Worten, um herauszufinden, ob 110 ein Vielfaches von 10 ist, dividiere 110 durch 10. Wenn das gefundene Ergebnis eine natürliche Zahl ist, ist 110 ein Vielfaches von 10; ansonsten nein.
Da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, ist die Menge der Vielfaches einer ganzen Zahl ist auch unendlich. Um jedoch Aufgaben zu lösen, bei denen mehrere und MMC, Es ist gut, eine Liste der ersten Vielfachen einer Zahl zu schreiben, um das Verhalten ihrer Vielfachen besser analysieren zu können.
Unten ist eine Liste der ersten 10 Vielfachen von 8, 10, 12, 20 und 40. Sie sind die ersten 10, weil sie das Ergebnis der Multiplikation dieser Zahlen mit den ersten 10 natürlichen Zahlen sind.
10 erste natürliche: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Vielfaches von 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Vielfaches von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Vielfache von 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Vielfaches von 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Um die zu finden kleinstes gemeinsames Vielfaches zwischen zwei Zahlen, finde die kleines Vielfaches die sie gemeinsam haben. Die erste Methode, um den mmc zu finden, besteht darin, ihn zwischen Vielfachen der beiden Zahlen zu suchen. Schau dir das Beispiel an:
Das kleinste gemeinsame Vielfache zwischen 10 und 12 ist 60, denn zwischen den Vielfachen von 10 und 12 ist 60 die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden ist. Uhr:
Vielfaches von 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Vielfaches von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Für diese beiden Zahlen, die klein sind, ist es leicht, die MMC zu finden. Aber was ist, wenn die Berechnung von MMC zwischen 256 und 384 erforderlich ist? Wenn Sie mit dieser Methode fortfahren möchten, sind zahlreiche ermüdende Multiplikationen erforderlich. Dafür gibt es a praktische Methode die weiter unten besprochen werden.
Zerlegungsmethode zur Berechnung von MMC
Um die zu berechnen kleinstes gemeinsames Vielfaches zwischen zwei Zahlen, können Sie die Primfaktorzerlegung ihr. Zum Beispiel sind die Zerlegungen in Primfaktoren von 10 und 12:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Hinweis: Wenn wiederholte Faktoren auftreten, schreiben Sie sie in Potenzform, wie es bei der Zerlegung von Zahl 12 getan wurde.
Der MMC zwischen 10 und 12 ist das Produkt der Primfaktoren, mit Ausnahme der sich wiederholenden Faktoren, die den kleinsten Exponenten haben. Das Minimum wird also sein:
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22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Beachten Sie, dass Faktor 2 aus der Zerlegung der Zahl 10 ignoriert wurde, da der gleiche Faktor aus der Zerlegung der Zahl 12 quadriert wurde.
Dies erleichtert die Berechnung des MMC zwischen 256 und 384. Aussehen:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC wird Produkt 28·3 = 256·3 = 768.
Beispiel 2: MMC zwischen 768 und 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
Die MMC wird das Produkt sein: 29·32.
Beispiel 3: Berechnen Sie die MMC zwischen 2700 und 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Beachten Sie, dass die Faktoren 2, 3 und 5 sind. Diejenigen mit den höchsten Exponenten sind 29, 33 und 52. Die MMC wird also sein:
29·33·52 = 345600
Praktische Methode zur Berechnung von MMC
Es ist möglich zu beachten, dass Zahlen zu zerlegen in de Primfaktoren, es ist notwendig, sie durch den kleinstmöglichen Primteiler zu dividieren und dennoch die Faktoren zu ignorieren, die sich in derselben Division wiederholen. Es gibt eine Methode, die diese Aufgabe erfüllen kann. Um Sie zu unterrichten, verwenden wir das Beispiel von MMC zwischen 1000 und 1024.
Schreiben Sie diese beiden Zahlen nebeneinander, durch ein Komma getrennt, und ziehen Sie einen vertikalen Seitenstrich rechts davon:
1000, 1024 |
|
|
Schreiben Sie rechts von dieser Spur die kleinste Primzahl, die mindestens eins zwischen 1000 und 1024 teilt. In diesem Fall ist die Zahl 2 und sie teilt beide.
1000, 1024 | 2
|
|
Schreiben Sie direkt darunter das Ergebnis Ihrer Division durch 2 und wiederholen Sie für diese Ergebnisse den obigen Vorgang, bis es nicht mehr möglich ist, eine der Zahlen durch 2 zu teilen.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Beachten Sie, dass wir irgendwann das Ergebnis 125 in der Spalte 1000 finden, aber 125 ist nicht durch 2 teilbar. In der Spaltennummer 1024 erhalten wir nur Ergebnisse, die durch 2 teilbar sind. In diesem Fall teilen wir weiterhin die Zahlen in der Spalte 1024 durch 2 und wiederholen die Zahl 125.
Wenn die Zahlen in den Spalten 1000 und 1024 nicht mehr durch 2 teilbar sind, versuchen Sie es mit der nächsten Primzahl: der Zahl 3. Wenn es keinen Teiler von 3 mehr gibt, versuchen Sie den nächsten und so weiter, bis Sie das Ergebnis „1,1“ erhalten. Im Beispiel ist 125 nicht durch 3, sondern durch 5 teilbar, daher wiederholen wir den Vorgang, indem wir 5 rechts neben den Bindestrich setzen. Uhr:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Wenn das erledigt ist, multiplizieren Sie die gefundenen Faktoren rechts von der vertikalen Linie:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Beispiel 2: Berechnen Sie die MMC zwischen 432 und 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
Die MMC lautet: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Um die MMC von drei oder mehr Zahlen zu berechnen, verwenden Sie einfach die hier beschriebene praktische Methode, indem Sie alle diese Zahlen nebeneinander stellen.
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
