Wenn wir Polyeder studieren, stoßen wir auf die Platons Körper als Sonderfall. Um ein Plato-Körper zu sein, muss das Polyeder drei Bedingungen erfüllen:
konvex sein;
alle Flächen haben die gleiche Anzahl von Kanten;
alle Ecken sind Enden der gleichen Anzahl von Kanten.
Mehrere Philosophen versuchten, den Ursprung des Universums zu verstehen, und Platon sah ihn in räumliche Geometrie die Erklärung für diese Herkunft. Platons Körper sind:
Tetraeder;
Hexaeder;
Oktaeder;
Dodekaeder;
Ikosaeder.
Alle von ihnen gelten als regelmäßige Vielecke, da ihre Kanten und ihre Flächen sind alle deckungsgleich. Platons Körper respektieren die Eulers Beziehung, die die Anzahl der Scheitelpunkte, Flächen und Kanten nach der Formel V + F = A + 2 auflistet.
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regelmäßige Polyeder
Die Suche nach regelmäßigen Polyedern ist immer wiederkehrend, da sie einfacher zu bearbeiten sind. Ein Polyeder wird als regulär klassifiziert, wenn es
hat alle Gesichter durch dasselbe gebildet Polygon kongruent. Wenn dies auftritt, wird die Winkel und Kanten sind auch deckungsgleich.Platons Körper sind Sonderfälle regelmäßiger Polyeder. Der Kubus zum Beispiel, der ein Platon-Körper ist, hat alle seine Flächen aus kongruenten Quadraten. Von Platons fünf Körpern, drei werden von dreieckigen Flächen mit kongruenten Dreiecken gebildet, eine wird von quadratischen Flächen und die andere von fünfeckigen Flächen gebildet.
Was sind Platons Körper?
Plato war ein griechischer Philosoph und Mathematiker. Er leistete große Beiträge zur Mathematik und versuchte, das Universum zu verstehen. Festkörper mit Elementen der Natur verbunden.
Um ein platonischer Körper zu sein, muss das Polyeder regelmäßig und konvex. Es gibt nur fünf Feststoffe, die diese Definition erfüllen. Sie sind: der Tetraeder, der Würfel oder Hexaeder, der Oktaeder, der Ikosaeder und der Dodekaeder.
Die Beziehung zwischen dem Element der Natur und dem Festkörper war:
Tetraeder - Feuer
Hexaeder - Erde
Oktaeder – Luft
Ikosaeder - Wasser
Dodekaeder – Kosmo oder Universum
Um ein Platon-Körper zu sein, Ö Polyeder muss auch konvex sein, müssen alle Flächen dieselbe Anzahl von Kanten haben und alle Scheitelpunkte müssen Enden derselben Anzahl von Kanten sein.
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regelmäßiges Tetraeder
Das regelmäßige Tetraeder ist ein Polyeder, das hat 4 Gesichter, was seinen Namen rechtfertigt (tetra = vier). alle deine Gesichter sind von Dreiecken gebildet. Es hat die Form eines Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und wird als Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche bezeichnet, da alle ihre Flächen kongruent sind. Es hat insgesamt 4 Gesichter (im Format von gleichseitiges Dreieck), 4 Ecken und 6 Kanten.
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Normaler Würfel oder Hexaeder
das regelmäßige Hexaeder hat 6 Gesichter, was seinen Namen rechtfertigt (hex = sechs). deine gesichter sind alle Quadrat. Er wird auch als Würfel bezeichnet und hat 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken.
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Oktaeder
Wie bei den vorherigen ist der Name an die Anzahl der Gesichter gebunden, daher das Oktaeder hat 8 Gesichter. Diese Gesichter haben gleichseitige Dreiecksform. Das Oktaeder hat 8 Flächen, 12 Kanten und 6 Ecken.
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Ikosaeder
Das Ikosaeder hat insgesamt 20 Gesichter. Ihre Gesichter sind wie gleichseitige Dreiecke geformt, genau wie das Oktaeder. Es hat insgesamt 20 Flächen, 30 Kanten und 12 Scheitelpunkte.
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Dodekaeder
Das Dodekaeder ist der letzte Körper von Platon. Es hat insgesamt 12 Gesichter und es gilt als harmonischer unter den fünf platonischen Körpern. Ihre Gesichter haben die Form von Fünfecken. Es verfügt über 12 Flächen, 30 Kanten und 20 Scheitelpunkte.
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Eulersche Formel
Eulersche Polyeder sind konvexe Polyeder. Euler hat eine Formel entwickelt, die die Anzahl der Flächen (F), die Anzahl der Ecken (V) und die Anzahl der Kanten (A) in einem konvexen Polyeder in Beziehung setzt. Alle Plato-Körper erfüllen die Euler-Beziehung.
V + F = A + 2 |
Analyse der Formel, dann kann man berechnen die Anzahl der Scheitelpunkte aus der Anzahl der Flächen und Kanten, oder kurz die Anzahl der Flächen aus der Anzahl der Scheitelpunkte und Kanten, Wenn man zwei seiner Elemente kennt, ist es immer möglich, das dritte zu finden.
Beispiel:
Wenn man weiß, dass ein Polyeder 8 Ecken und 12 Kanten hat und regelmäßig ist, wie viele Seiten hat es?
Wir wissen, dass V + F = A+2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
gelöste Übungen
Frage 1 - (Enem 2016) Platons Körper sind konvexe Polyeder, deren Flächen alle kongruent zu einem einzigen Polygon sind regulär, alle Scheitelpunkte haben die gleiche Anzahl von einfallenden Kanten und jede Kante wird nur von zwei geteilt. Gesichter. Sie sind zum Beispiel wichtig bei der Klassifikation der Formen von Mineralkristallen und bei der Entwicklung verschiedener Objekte. Wie alle konvexen Polyeder respektieren Platons Körper die Euler-Beziehung V - A + F = 2, wobei V, A und F die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Polyeders sind.
Welche Beziehung besteht in einem Kristall, dessen Form die eines dreieckigen Platon-Polyeders hat, zwischen der Anzahl der Ecken und der Anzahl der Flächen?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Auflösung
Alternative C. Da die Flächen dreieckig sind, wissen wir, dass es für jede Fläche 3 Kanten gibt. Um jedoch die Anzahl der Kanten mit der Anzahl der Flächen in Beziehung zu setzen, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass jede Kante enthalten ist auf zwei Flächen, da das Zusammentreffen zweier Flächen eine Kante bildet, also können wir in diesem Fall Kante zu Fläche in Beziehung setzen pro:
Wenn wir die Euler-Beziehung als V - A + F = 2 haben und A ersetzen, müssen wir:
Frage 2 - Beurteilen Sie anhand der folgenden Alternativen, welche kein Platon-Körper ist.
Ein Würfel
B) Regelmäßiges Tetraeder
C) Ikosaeder
D) Dodekaeder
E) Kegel
Auflösung:
Alternative E. Von den Alternativen entspricht die einzige, die keinem Platon-Körper entspricht, der Kegel.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
