das Verständnis von Sätze ist die wichtigste Grundlage für das Studium der Algebra und Konzepte von großer Bedeutung in der Mathematik, wie z Funktionen und Ungleichheiten. Die Notation, die wir für Mengen verwenden, ist immer ein Großbuchstabe aus unserem Alphabet (zB Menge A oder Menge B).
Bezüglich Darstellung von Sets, es kann von gemacht werden Venn-Diagramm, indem sie einfach die Eigenschaften ihrer Elemente beschreiben, die Elemente aufzählen oder ihre Eigenschaften beschreiben. Bei der Arbeit mit Problemen, die Sets beinhalten, gibt es Situationen, die die Ausführung von Operationen zwischen Sätzen, ist die Vereinigung, die Schnittmenge und die Differenz. Werden wir das alles im Detail studieren?
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Notation und Darstellung von Mengen
Zur Darstellung einer Menge verwenden wir immer a Großbuchstabe des Alphabets, und die Elemente sind immer dazwischen Schlüssel und werden durch ein Komma getrennt. Um die Menge der geraden Zahlen größer als 1 und kleiner als 20 darzustellen, verwenden wir beispielsweise die folgende Notation: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Darstellungsformen von Mengen
Darstellung durch Aufzählung: Wir können seine Elemente aufzählen, dh eine Liste erstellen, immer zwischen geschweiften Klammern. Siehe ein Beispiel:
A = {1,5,9,12,14,20}
Beschreibung der Funktionen: Wir können einfach die Charakteristik der Menge beschreiben. Sei beispielsweise X eine Menge, dann gilt X = {x ist ein positives Vielfaches von 5}; Y: ist die Menge der Monate des Jahres.
Venn-Diagramm: Mengen können auch in Form eines Diagramms dargestellt werden, bekannt als a Venn-Diagramm, die eine effizientere Darstellung zum Ausführen von Operationen ist.
Beispiel:
Gegeben die Menge A = {1,2,3,4,5} können wir sie im folgenden Venn-Diagramm darstellen:
Elemente einer Menge und Mitgliedschaftsbeziehung
Für ein beliebiges Element können wir sagen, dass das Element gehört zum Set oder nicht gehören zu diesem Satz. Um dieses Mitgliedschaftsverhältnis schneller darzustellen, verwenden wir die Symbole
(als zugehörig gelesen) und ∉ (als nicht zugehörig gelesen). Sei zum Beispiel P die Menge von Paarnummern, können wir sagen, dass die 7 ∉ P und die 12 P.
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Gleichheit der Sätze
Ein Vergleich zwischen Mengen ist unvermeidlich, daher können wir sagen, dass zwei Mengen gleich sind oder nicht, indem wir jedes ihrer Elemente überprüfen. Seien A = { 0,1,3,4,8} und B = { 8,4,3,1,0}, auch wenn die Elemente in unterschiedlicher Reihenfolge sind, können wir sagen, dass die Mengen A und B gleich sind: A = B.
Inklusionsbeziehung
Beim Vergleich zweier Mengen können wir auf mehrere Beziehungen stoßen, und eine davon ist die Inklusionsbeziehung. Für diese Beziehung müssen wir einige Symbole kennen:
⊃ → enthält ⊂→ ist beinhaltet
⊅ → enthält nicht ⊄→ist nicht enthalten
Tipp: Die Öffnungsseite des Symbols zeigt immer zum größeren Satz. |
Wenn alle Elemente einer Menge A auch zu einer Menge B gehören, sagen wir, dass A ⊂ B oder dass A in B enthalten ist. Zum Beispiel A={1,2,3} und B={1,2,3,4,5,6}. Es ist auch möglich, die Darstellung durch Venn-Diagramm, das würde so aussehen:
A ist in B enthalten:
A ⊂ B
Teilmengen
Wenn ein Inklusionsbeziehung, d.h. die Menge A ist in der Menge B enthalten, kann man sagen, dass A eine Teilmenge von B ist. Die Teilmenge bleibt eine Menge, und a Set kann mehrere Teilmengen haben, gebaut aus den dazugehörigen Elementen.
Zum Beispiel: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} hat als Teilmengen die Mengen B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} und sogar die Menge A {1,2,3,4,5,6,7,8}, d. h. A ist eine Teilmenge von sich selbst.
Einheitssatz
Wie der Name schon sagt, ist es dieses Set hat nur ein Element, wie die zuvor gezeigte Menge D:{1}. Gegeben die Menge B: {1,2,3} haben wir die Teilmengen {1}, {2} und {3}, die alle Einheitsmengen sind.
BEACHTUNG: Die Menge E: {0} ist ebenfalls eine unitäre Menge, da sie ein einzelnes Element „0“ hat und keine leere Menge ist.
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leeres Set
Mit einem noch eindrucksvolleren Namen hat die leere Menge keine Elemente und ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Um die leere Menge darzustellen, gibt es zwei mögliche Darstellungen, sie sind V: { } oder das Symbol Ø.
Teilesätze
Als Mengen von Teilen kennen wir alle möglichen Teilmengen einer gegebenen Menge. Sei A: {1,2,3,4}, wir können alle Teilmengen dieser Menge A auflisten, beginnend mit den Mengen, die keine Elemente haben (leer) und dann solche mit einem, zwei, drei und vier Elementen, beziehungsweise.
leeres Set: { };
Einheitensätze: {1}; {2};{3}; {4}.
Sets mit zwei Elementen: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
Sets mit drei Elementen: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set mit vier Elementen: {1,2,3,4}.
Daher können wir die Menge der Teile von A wie folgt beschreiben:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Um herauszufinden, aus wie vielen Teilen ein Set geteilt werden kann, verwenden wir die Formel:
n[P(A)] = 2Nein
Die Anzahl der Teile von A wird berechnet durch a Potenz Basis 2 erhöht auf Nein, auf was Nein ist die Anzahl der Elemente in der Menge.
Betrachten Sie die Menge A: {1,2,3,4}, die vier Elemente hat. Die Summe der möglichen Teilmengen dieser Menge ist 24 =16.
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Endliche und unendliche Menge
Wenn wir mit Sets arbeiten, finden wir Sets, die begrenzt (endlich) und die, die es sind unbegrenzt (unendlich). Der Satz von gerade oder ungerade Zahlen, ist zum Beispiel unendlich und um es darzustellen, beschreiben wir einige seiner Elemente der Reihe nach, damit es möglich ist, vorherzusagen, was die nächsten Elemente sein werden, und wir setzen Ellipsen in die Finale.
Ich: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Bei einer endlichen Menge setzen wir die Ellipsen jedoch nicht ans Ende, da sie einen definierten Anfang und ein definiertes Ende hat.
Antwort: {1,2,3,4}.
Universum-Set
Ö Universum-Set, bezeichnet durch U, ist definiert als die Menge aller Elemente, die innerhalb eines Problems berücksichtigt werden müssen. Jedes Element gehört zur Universumsmenge und jede Menge ist in der Universumsmenge enthalten.
Operationen mit Sätzen
Die Operationen mit Mengen sind: Vereinigung, Schnitt und Differenz.
Schnittmenge von Mengen
Eine Schnittmenge tritt auf, wenn Elemente gleichzeitig zu einer oder mehreren Mengen gehören. Beim Schreiben von A∩B suchen wir nach Elementen, die sowohl zu Menge A als auch zu Menge B gehören.
Beispiel:
Betrachten Sie A= {1,2,3,4,5,6} und B = {2,4,6,7,8}, die Elemente, die sowohl zu Menge A als auch zu Menge B gehören, sind: ,4,6}. Die Darstellung dieser Operation erfolgt wie folgt:
A∩B
Wenn Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, werden sie als bezeichnet disjunkte Sätze.
A∩B = Ø
Unterschied zwischen den Sätzen
berechne das Unterschied zwischen zwei Sätzen besteht darin, nach Elementen zu suchen, die nur zu einer der beiden Mengen gehören. Zum Beispiel hat A – B als Antwort eine Menge bestehend aus Elementen, die zu Menge A gehören und nicht zu Menge B gehören.
Beispiel: A: {1,2,3,4,5,6} und B: {2,4,6,7,8}. Beachten Sie, dass A ∩ B ={2,4,6} ist, also haben wir:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Einheit
Die Vereinigung von zwei oder mehr Mengen ist die schließe dich deinen Bedingungen an. Wenn es Elemente gibt, die in beiden Mengen wiederholt werden, werden sie nur einmal geschrieben. Beispiel: A={1,2,3,4,5} und B={4,5,6,7,10,14}. Um die Union darzustellen, verwenden wir das Symbol (liest: A union with B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Um mehr über diese Operationen zu erfahren und mehrere gelöste Übungen zu sehen, lesen Sie: Operationen mit Sätzen.
Morgans Gesetze
Seien A und B zwei Mengen und sei U die Universumsmenge, es gibt zwei Eigenschaften, die durch die Morganschen Gesetze gegeben sind, nämlich:
(A U B)ç = Aç Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Beispiel:
Angesichts der Sätze:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Lass uns das überprüfen (A U B)ç = Aç Bç. Wir müssen also:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Daher (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Um die Richtigkeit der Gleichheit zu überprüfen, analysieren wir die Operation Aç Bç:
DASç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Dann, DASç Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç Bç
gelöste Übungen
01) Betrachten Sie U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} und B: {4,5,6, 7,8,9}. Zeigen Sie, dass (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Auflösung:
1. Schritt: finden (A ∩ B)ç. Dafür gilt A ∩ B = {4,5,6}, also (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. Schritt: finde einenç U Bç. DASç:{7,8,9,10} und Bç:{1,2,3,10}, also Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Es wird gezeigt, dass (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Wenn wir wissen, dass A die Menge der geraden Zahlen von 1 bis 20 ist, wie viele Teilmengen können wir aus den Elementen dieser Menge insgesamt bilden?
Auflösung:
Sei P die beschriebene Menge, wir haben P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Daher beträgt die Anzahl der Elemente von P 10.
Nach der Teilesatztheorie ist die Anzahl der möglichen Teilmengen von P:
210=1024
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
(PUC-Rio-2009) In einer Schule mit 100 Schülern, 80 wie Schokoladeneis, 70 wie Sahneeis und 60 wie beide Geschmacksrichtungen. Wie viele Schüler mögen keinen der beiden Geschmacksrichtungen?
(PUC) In einer Marktforschung wurde festgestellt, dass 15 Personen mindestens eines der Produkte A oder B verwenden. Wenn Sie wissen, dass 10 dieser Personen Produkt B nicht verwenden und 2 dieser Personen Produkt A nicht verwenden, wie viele Personen verwenden die Produkte A und B?
