Sie Parallelogramme sind Polygone von ebene Geometrie weithin als gängige geometrische Figuren in unserem täglichen Leben erforscht. Wir definieren ein Parallelogramm als ein Polygon mit gegenüberliegende Seiten parallel, eine Eigenschaft, die zu exklusiven Eigenschaften führt.
Die besonderen Fälle von Parallelogrammen sind die Quadrate, Rechtecke und Rauten. Für jedes dieser Polygone gibt es spezielle Formeln zur Berechnung von Fläche und Umfang.
Lesen Sie auch: Kreis und Umfang – geometrische Formen mit vielen Funktionen
Elemente eines Parallelogramms
Um ein Parallelogramm zu sein, ist die Polygon muss gegenüberliegende Seiten parallel haben. Als besondere Merkmale müssen wir:
Jedes Parallelogramm besteht aus vier Seiten, und die gegenüberliegenden Seiten sind Parallelen.
Jedes Parallelogramm hat vier Innenwinkel und die Summe dieser Winkel ist immer gleich 360º.
Jedes Parallelogramm hat zwei Diagonalen.
Denken Sie daran, dass Parallelogramme besondere Fälle von Vierecke, also gibt es Merkmale, die von diesen geometrischen Figuren geerbt werden, wie die Existenz von zwei Diagonalen, vier Seiten und vier Winkel, sowie die Summe der Innen- und Außenwinkel ist immer gleich 360º.
Eigenschaften eines Parallelogramms
1. Eigenschaft: Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind deckungsgleich, dh sie haben das gleiche Maß.
2. Eigenschaft: Entgegengesetzte Winkel eines Parallelogramms sind kongruent, und zwei aufeinanderfolgende Winkel ergänzen sich immer (die Summe beträgt 180°).
Wenn man weiß, dass AB und CD parallel sind, dann sind die Seiten BC und AD quer zu AB und CD; folglich ist die Winkel gebildet (w und x) sind ergänzend, da es sich um interne Kollateralwinkel handelt. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Winkel x und z kongruent sind.
- 3. Eigenschaft: Die Diagonalen eines Parallelogramms werden halbiert.
Wenn wir die beiden Diagonalen eines Parallelogramms zeichnen, teilt sich ihr Treffpunkt in ihre Mittelpunkte.
AM = CM
BM=DM
Auch sehen: Punkt, Linie, Ebene und Raum: Grundbegriffe der Geometrie
Fläche eines Parallelogramms
Die Fläche eines Parallelogramms im Allgemeinen berechnet sich aus dem Produkt aus Basis und Höhe. Es gibt spezielle Fälle (Rechtecke, Rauten und Quadrate), die spezifische Formeln haben – sie werden im gesamten Text vorgestellt – aber die sich aus der allgemeinen Form ergeben.
A = b.h
b: Basis
h: Höhe
Umfang eines Parallelogramms
Ö Umfang wird gegeben von Summe von allen Seiten. Da ein Parallelogramm im Allgemeinen zwei gleiche Seiten hat, kann sein Umfang bestimmt werden durch:
P = 2 (a + b)
Sonderfälle von Parallelogrammen
Wie wir wissen, muss das Polygon per Definition parallele Seiten haben, um ein Parallelogramm zu sein. Es gibt drei Vierecke, die als Sonderfälle des Parallelogramms behandelt werden: das Rechteck, die Raute und das Quadrat.
Quadrat
wir nennen Quadrat ein vierseitiges Polygon mit vier Seiten und vier kongruenten Winkeln – jeder Winkel beträgt genau 90 Grad. Da das Quadrat ein Parallelogramm ist, gelten alle Eigenschaften für das Quadrat.
Die Fläche eines Quadrats und sein Umfang werden ähnlich wie bei einem Parallelogramm berechnet. aber da alle Seiten des Quadrats gleich sind, können wir die Fläche und den Umfang des Quadrats wie folgt darstellen:
A=l²
P = 4,1
Rechteck
Ö Rechteck es ist ein Parallelogramm, das alle kongruenten Winkel hat. Es bekommt diesen Namen, weil alle deine Winkel sind geraded.h. die vier Winkel messen 90º. Die Rechteckfläche ist identisch mit der Parallelogrammfläche, aber wir können die vertikale Seite als Höhe behandeln, schließlich steht sie senkrecht zur Basis.
A=a.b
P= 2 (a + b)
Diamant
Ö Diamant es ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten deckungsgleich sind. Beachten Sie, dass es keine Einschränkung für die Winkel gibt, sie können unterschiedlich sein oder nicht. Anders als bei den vorherigen Beispielen ist die Die Berechnung der Fläche eines Diamanten basiert auf seinen Diagonalen. Es gibt auch eine sehr wichtige Beziehung zwischen den Diagonalen des Diamanten und seiner Seite.
D: größere Diagonale
d: kleine Diagonale
l: Seite
Bei einer beliebigen Raute wissen wir, dass sich die Diagonalen in der Mitte schneiden und vier rechtwinklige Dreiecke bilden. Wenn man eines dieser Dreiecke analysiert, ist es möglich, a Pythagoräische Beziehung zwischen der Seite und der Hälfte jeder der Diagonalen.
Auch zugreifen: Umfangslänge und Kreisfläche
Beziehung zwischen Parallelogrammen
Es ist wichtig, die Definition des Parallelogramms gut zu verstehen, damit es bei der Klassifizierung keine Komplikationen gibt. Es ist immer gut, sich daran zu erinnern, dass jedes Parallelogramm ein Viereck ist, aber nicht jedes Viereck ist ein Parallelogramm.
Wir können auch sagen, dass jedes Rechteck, jedes Quadrat und jede Raute Parallelogramme sind. Darüber hinaus können wir beim Vergleich der Spezialfälle von Parallelogrammen eine andere Beziehung sehen, da das Quadrat es hat kongruente Winkel, was die Definition von Rechteck ist, und auch kongruente Seiten, was die Definition von ist Diamant. Als Konsequenz können wir sagen, dass jedes Quadrat ist ein Rechteck und auch ein Diamant.
gelöste Übungen
Frage 1 - In dem Wissen, dass die folgende Abbildung ein Parallelogramm ist, wie hoch wird der Wert von x, y bzw. z sein?
a) 40,140 und 180
b) 30, 100 und 100
c) 25, 140 und 95
d) 30, 90 und 145
e) 45, 55 und 220
Auflösung
1. Schritt: Mit der Parallelogramm-Eigenschaft wissen wir, dass entgegengesetzte Winkel gleich sind. Beim Analysieren des Bildes ist es bequemer, diese Eigenschaft bei den Scheitelwinkeln B und D zu verwenden, da sie dieselbe Unbekannte haben.
2. Schritt: Wenn man weiß, dass aufeinanderfolgende Winkel ergänzend sind und x = 25 ist, ist es möglich, den Wert von y zu bestimmen.
3. Schritt: Da die Winkel der Ecken C und A entgegengesetzt sind, sind sie kongruent, sodass wir den Wert von z finden können.
Alternative C.
Frage 2 - Berechnen Sie unten die Parallelogrammfläche (Seiten in Zentimetern gemessen).
a) 16 cm²
b) 32 cm²
c) 8 cm²
d) 64 cm²
e) 40 cm²
Auflösung
Um die Fläche des Parallelogramms zu ermitteln, muss zunächst der Wert von h ermittelt werden. Beachten Sie, dass das Dreieck AEB ein Hypotenuse-Rechteck gleich 5 ist, also können wir den Satz des Pythagoras anwenden, um den Wert von h zu finden.
Alternative B.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm