Arbeiten mit zusammengesetzte Funktionen Es hat keine großen Geheimnisse, aber es erfordert viel Aufmerksamkeit und Sorgfalt. Wenn wir es mit einer Komposition von drei oder mehr Funktionen zu tun haben, egal ob sie aus den 1. Grad oder von 2. Grad, größer sollte die Sorge sein. Bevor wir uns einige Beispiele ansehen, wollen wir die zentrale Idee der Rollenkomposition verstehen.
Stellen Sie sich vor, Sie planen eine Flugreise von Rio Grande do Sul nach Amazonas. Eine Fluggesellschaft bietet ein Direktflugticket und eine weitere günstigere Option mit drei Zwischenlandungen an, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:
Rio Grande do Sul → São Paulo → Goiás → Amazonas
Jede der Reiseoptionen führt zum beabsichtigten Ziel, ebenso wie die zusammengesetzte Funktion. Siehe das Bild unten:
Beispiel für die Funktionsweise einer Komposition aus drei Funktionen
Wie wäre es, wenn wir dieses Schema verwenden, um ein Beispiel anzuwenden? Betrachten Sie dann die folgenden Funktionen: f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3
und h(x) = x². die Zusammensetzung f o geh o h (liest: f Verbindung mit g Verbindung mit h) kann leichter interpretiert werden, wenn es ausgedrückt wird als f(g(h(x))). Um diese Funktionszusammensetzung zu lösen, müssen wir mit der innersten zusammengesetzten Funktion oder der letzten Zusammensetzung beginnen, also g(h(x)). In Funktion g(x) = 2x – 3, wo immer es ist x, wir werden ersetzen durch h(x):g(x) = 2x – 3
G(h(x)) = 2.h(x) – 3
G(h(x)) = 2.(x²) – 3
g (h(x)) = 2.x² - 3
Jetzt machen wir die letzte Komposition f(g(h(x))). In Funktion f(x) = x + 1, wo immer es ist x, wir werden ersetzen durch g (h(x)) = 2.x² - 3:
f(x) = x + 1
f(g(h(x))) = (2.x² - 3) + 1
f(g(h(x))) = 2.x² - 3 + 1
f (g(h(x))) = 2.x² - 2
Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu beweisen, dass, wie im Fall des am Anfang dieses Artikels erwähnten Fluges, wenn wir einen Wert wählen, der angewendet werden soll f(g(h(x))), wir erhalten das gleiche Ergebnis wie beim separaten Auftragen in den Kompositionen. wenn x = 1, Wir müssen h (1) es ist das gleiche wie:
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h(x) = x²
h (1) = 1²
h (1) = 1
Wissend, dass h (1) = 1, suchen wir nun den Wert von g(h(1)):
g(x) = 2x – 3
g (h(1)) = 2.h (1) - 3
g (h(1)) = 2,1 - 3
g (h(1)) = – 1
Zum Schluss berechnen wir den Wert von f(g(h(1))), wissend, dass g (h(1)) = – 1:
f(x) = x + 1
f(g(h(1))) = g(h(1)) + 1
f (g(h(1))) = – 1 + 1
f (g(h(1))) = 0
Wir haben das gefunden f (g(h(1))) = 0. Mal sehen, ob wir beim Ersetzen das gleiche Ergebnis erhalten x = 1 in der Formel für die Zusammensetzung von Funktionen, die wir zuvor gefunden haben: f (g(h(x))) = 2.x² - 2:
f (g(h(x))) = 2.x² - 2
f (g(h(1))) = 2.(1)² – 2
f (g(h(1))) = 2 - 2
f (g(h(1))) = 0
Wir haben also tatsächlich das gleiche Ergebnis erhalten, das wir demonstrieren wollten. Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel für das Zusammensetzen von drei oder mehr Funktionen an:
Die Funktionen seien: f (x) = x² - 2x, g (x) = – 2 + 3x, h(x) = 5x³ und ich (x) = -x, bestimme das Gesetz der zusammengesetzten Funktion f(g(h(i(x)))).
Wir beginnen, diese Zusammensetzung durch die innerste zusammengesetzte Funktion zu lösen, h(x)):
i (x) = – x und h(x) = 5x³
h(x) = 5x³
H(ich(x)) = 5.[ich(x)]³
H(ich(x)) = 5.[– x]³
h (i(x)) = – 5x³
Lassen Sie uns nun die Zusammensetzung lösen g(h(i(x))):
h (i(x)) = – 5x³ und g (x) = – 2 + 3x
g (x) = – 2 + 3x
G(h(x))) = – 2 + 3.[h(x))]
G(h(x))) = – 2 + 3.[– 5x³]
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³
Wir können nun das Gesetz der zusammengesetzten Funktion bestimmen f(g(h(i(x))))):
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³ und f (x) = x² - 2x
f (x) = x² - 2x
f(g(h(i(x)))) = [g (h(i(x)))]² - 2[g(h(i(x)))]
f(g(h(i(x)))) = [– 2 – 15x³]² – 2[– 2 – 15x³]
f(g (h(i (x)))) = 4 - 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Daher gilt das Gesetz der zusammengesetzten Funktion f(g(h(i(x))))) é f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Von Amanda Gonçalves
Abschluss in Mathematik
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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Zusammensetzung von drei oder mehr Funktionen"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-ou-mais-funcoes.htm. Zugriff am 28. Juni 2021.
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