Die Motivation für das Studium von Operationen zwischen Sätzen kommt von der Leichtigkeit, mit der sie alltägliche numerische Probleme lösen können. Wir werden einige grafische Tools verwenden, wie z Venn-Diagramm-Euler, um die Hauptoperationen zwischen zwei oder mehr zu definieren Sätze, nämlich: Vereinigung von Mengen, Schnittmenge von Mengen, Differenz von Mengen und Komplementärmenge.
Vereinigung von Sätzen
Die Vereinigung zwischen zwei oder mehr Mengen ist eine neue Menge, die aus Elementen besteht, die zu mindestens einer der fraglichen Mengen gehören. Formal ist die Vereinigungsmenge gegeben durch:
Seien A und B zwei Mengen, die Vereinigung zwischen ihnen wird durch Elemente gebildet, die zu Menge A oder Menge B gehören.
Mit anderen Worten, schließe dich einfach den Elementen an von A mit denen von B.
Beispiel:
a) Betrachten Sie die Mengen A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} und B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x ist eine natürliche gerade Zahl} und B {y | y ist eine natürliche ungerade Zahl}
Die Vereinigung aller natürlichen Geraden und aller natürlichen Quoten ergibt die gesamte Menge natürlicher Zahlen, also müssen wir:
Schnittmenge von Mengen
Der Schnittpunkt zwischen zwei oder mehr Mengen wird ebenfalls eine neue Menge sein, die gebildet wird durch Elemente, die gleichzeitig zu allen beteiligten Mengen gehören. Formal haben wir:
Seien A und B zwei Mengen, der Schnittpunkt zwischen ihnen wird durch Elemente gebildet, die zu Menge A und Menge B gehören. Daher müssen wir nur die Elemente betrachten, die in beiden Mengen enthalten sind.
Beispiel
a) Betrachten Sie die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} und C = {0, –1, –2, –3 }
A B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B C = {0}
Die Menge ohne Elemente heißt leeres Set und kann auf zwei Arten dargestellt werden.
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Unterschied der Sätze
Der Unterschied zwischen zwei Mengen, A und B, wird durch die Elemente gegeben, die zu A gehören und Nein gehören B.
Im Venn-Euler-Diagramm beträgt der Unterschied zwischen den Mengen A und B:
Beispiel
Betrachten Sie die Mengen A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} und C = { }. Lassen Sie uns die folgenden Unterschiede feststellen.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = { }
Beachten Sie, dass wir in Menge A – B zunächst Menge A nehmen und die Elemente aus Menge B „herausnehmen“. In der Menge A – C nehmen wir das A und „herausnehmen“ die Leere, also keine Elemente. Schließlich nehmen wir in C – A die leere Menge und „herausnehmen“ die Elemente aus A, die wiederum nicht mehr da waren.
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Ergänzungssets
Betrachten Sie die Mengen A und B, wobei die Menge A in der Menge B enthalten ist, d. h. jedes Element von A ist auch ein Element von B. Die Differenz zwischen den Mengen B – A wird Komplement von A zu B genannt. Mit anderen Worten, das Komplementäre wird von jedem Element gebildet, das nicht zur Menge A gehört, in Bezug auf die Menge B, in der es enthalten ist.
Beispiel
Betrachten Sie die Mengen A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} und B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Das Komplement von A zu B ist:
gelöste Übungen
Frage 1 – Betrachten Sie die Mengen A = {a, b, c, d, e, f} und B = {d, e, f, g, h, i}. Bestimme (A – B) U (B – A).
Lösung
Zunächst bestimmen wir die Mengen A – B und B – A und führen dann die Vereinigung zwischen ihnen durch.
A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Daher ist (A - B) U (B - A):
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, ich}
Frage 2 – (Vunesp) Angenommen, A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} und A – B = {a, b, c}, dann:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = { }
d) B = {d, e}
e) B = {a, b,c, d,e}
Lösung
Alternative b.
Ordnet man die Elemente im Venn-Euler-Diagramm entsprechend der Aussage an, so erhält man:
Daher ist die Menge B = {d, e, f, g, h}.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
