Permutation ist eines der Themen, die in der Disziplin der kombinatorische Analyse in Mathe. Wenn man eine geordnete Folge mit einer Anzahl von „n“ verschiedenen Elementen in der Hand hat, heißt jede andere Folge, die aus denselben „n“ umgeordneten Elementen gebildet wird, a Permutation.
Wenn A also eine Permutation von B ist, können wir sagen, dass A und B aus den gleichen Elementen bestehen, aber unterschiedlich geordnet sind.
Woher kommen Permutationen?
Permutationen sind Einzelfälle von Einfache Arrangements. Dies sind geordnete Gruppierungen einer Menge A von Elementen, sodass die Gruppen weniger oder die gleiche Anzahl von Elementen haben als Menge A.
Die Menge A = {X, Y, Z}, {X, Y} und {Y, X} ist a einfache Anordnung der Elemente von A 2 bis 2 genommen. Die Anzahl der Elemente in A wird durch den Buchstaben „n“ dargestellt. Ö Bestellnummer, oder Klassennummer, ist „k“. Diese Zahl ist die Anzahl der Elemente in jedem einfachen Array (im Beispiel ist diese Zahl 2).
Die Liste mit all den einfachen Anordnungen der drei Elemente von A von 3 bis 3 ist wie folgt:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX und YXZ
Diese Liste ist nur der Sonderfall der Arrangements, die den Namen Permutation erhalten.
Berechnung einfacher Anordnungen
Die Anzahl der einfachen Anordnungen einer Menge A, die Nein Elemente genommen k Das Oh, lässt sich nach folgender Formel berechnen:
DASnein, okay = Nein!
(n-k)!
Permutationsdefinition
Sei A eine Menge mit Nein eindeutige Elemente. Sie einfache Arrangements dieser Elemente von n bis n heißen einfache Permutationen von A. Damit es sich um eine Permutation handelt, ist es also notwendig, dass die Ordnungsnummer k gleich der Zahl sein Nein von Elementen von A. Daraus ergibt sich folgende Berechnung:
Nehmen wir die Formel für einfache Arrays und die Ordnungszahl k = n, erhalten wir:
Dies ist die Formel, die verwendet wird, um die Anzahl der Permutationen der Elemente der Menge A zu berechnen, normalerweise bezeichnet mit PNein. Bald:
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PNein = Anein, nein = n!
PNein = n!
Beispiel
Berechnen Sie die Anzahl der Permutationen der Buchstaben des Wortes LIEBE.
Lösung:
Beachten Sie, dass das Wort LIEBE 4 verschiedene Elemente hat. Um die Anzahl der Permutationen dieses Wortes zu berechnen, verwenden wir die obige Formel:
PNein = n!
P4 = 4!
P4 = 4·3·2·1
P4 = 24
Daher ist es möglich, 24 verschiedene Permutationen der Buchstaben des Wortes LIEBE zu bilden. Wortpermutationen werden auch genannt Anagramme.
Permutationen mit wiederholten Elementen
Jede Menge kann sich wiederholende Elemente haben. Beim Permutationen diese Menge sollte die Wiederholung dieser Elemente berücksichtigen, da die Reihenfolge, in der sie erscheinen, im Gegensatz zu der Reihenfolge der anderen Elemente der Menge keine Rolle spielt. Wenn wir nur die beiden „A“ der Stelle im Wort AMAR ändern, erhalten wir dasselbe Wort. Gleiche Wörter sind nicht Permutationen, daher muss diese Wiederholung in der Formel für die Permutationen abgezogen werden.
Alle möglichen Wiederholungen von Elementen in einem subtrahieren Permutation mit wiederholten Elementen, wir müssen folgendes tun:
Sei A eine Menge mit Nein Elemente, von denen k Elemente wiederholen sich. Die Formel zur Berechnung der Permutationen von A lautet:
PNeink = Nein!
k!
Wenn A gesetzt ist, mit Nein Elemente, besitzen k Wiederholungen eines Elements und j Wiederholungen eines anderen, erfolgt die Berechnung wie folgt:
PNeinHaha = Nein!
k!·j!
Wenn eine Menge A, mit Nein Elemente, hat k Wiederholungen eines Elements, j Wiederholungen eines anderen, …, ich Wiederholungen eines anderen, nimmt die Formel folgende Form an:
PNeink, j,...,m = Nein!
k!·j!·... ·m!
Beispiel
Berechnen Sie die Anzahl der Anagramme des Wortes ANTONIA.
Lösung:
Um das Beispiel zu lösen, berechnen Sie einfach die Permutationen mit wiederholten Elementen des Wortes ANTONIA. Sowohl der Buchstabe A als auch der Buchstabe N werden 2 Mal wiederholt. Uhr:
P72,2 = 7!
2!·2!
P72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
P72,2 = 5040
4
P72,2 = 1260
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
