Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, die trigonometrische Funktionen unbekannter Bögen beinhalten. Das Lösen dieser Gleichungen ist ein einzigartiger Prozess, der Techniken der Reduktion auf einfachere Gleichungen verwendet. Lassen Sie uns die Konzepte und Definitionen von Gleichungen in der Form behandeln cosx = a.
Trigonometrische Gleichungen der Form cosx = α haben Lösungen im Intervall –1 ≤ x ≤ 1. Die Bestimmung der Werte von x, die diese Art von Gleichung erfüllen, gehorcht der folgenden Eigenschaft: Wenn zwei Bögen den gleichen Kosinus haben, sind sie kongruent oder komplementär..
Sei x = α eine Lösung der Gleichung cos x = α. Die anderen möglichen Lösungen sind die zum Bogen α oder zum Bogen – α (oder zum Bogen 2 α – α) kongruenten Bögen. Also: cos x = cos α. Beachten Sie die Darstellung im trigonometrischen Kreis:
Wir sind zu dem Schluss gekommen, dass:
x = α + 2kπ, mit k Є Z oder x = – α + 2kπ, mit k Є Z
Beispiel 1
Lösen Sie die Gleichung: cos x = √2/2.
Aus der Tabelle der trigonometrischen Verhältnisse entspricht que2/2 einem Winkel von 45°. Dann:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Somit hat die Gleichung cosx = √2/2 als Lösung alle Bögen kongruent zum Bogen π/4 oder –π/4 oder sogar 2π – π/4 = 7π/4. Beachten Sie die Abbildung:
Wir schließen daraus, dass die möglichen Lösungen der Gleichung cos x = √2/2 sind:
x = π/4 + 2kπ, mit k Є Z oder x = – π/4 + 2kπ, mit k Є Z
Beispiel 2
Lösen Sie die Gleichung: cos 3x = cos x
Wenn die 3x- und x-Bögen deckungsgleich sind:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Wenn die 3x- und x-Bögen komplementär sind:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
Die Lösung der Gleichung cos 3x = cos x ist {x Є R / x = kπ oder x = kπ/2, mit k Є Z}.
von Mark Noah
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm