Numerische Sätze sind Sammlungen von Zahlen, die ähnliche Eigenschaften haben. Sie wurden als Ergebnis der Bedürfnisse der Menschheit in einer bestimmten historischen Periode geboren. Sehen Sie, was sie sind!
Satz natürlicher Zahlen
Der Satz von Natürliche Zahlen es war das erste, was gehört wurde. Es wurde aus der einfachen Notwendigkeit geboren, zu zählen, daher sind seine Elemente nur ganze Zahlen und nicht negativ.
Die Menge der natürlichen Zahlen, dargestellt durch N, hat die folgenden Elemente:
Nein = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Satz von ganzen Zahlen
Der Satz von ganze Zahlen es ist eine Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Es wird gebildet, indem die Menge der natürlichen Zahlen mit negativen Zahlen verbunden wird. Mit anderen Worten, die Menge der ganzen Zahlen, dargestellt durch Z, hat die folgenden Elemente:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Satz von rationalen Zahlen
Der Satz von Rationale Zahlen geboren aus der Notwendigkeit, Mengen zu teilen. Dies ist also die Menge von Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können. Die Menge der rationalen Zahlen, dargestellt durch Q, hat die folgenden Elemente:
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z und b ∈ N}
Die obige Definition liest sich wie folgt: x gehört zu den rationalen Zahlen, sodass x gleich ist Das geteilt durch B, mit Das zu den ganzen Zahlen gehören und B zu den Naturmenschen gehören.
Mit anderen Worten, wenn es ein Bruch oder eine Zahl ist, die als Bruch geschrieben werden kann, dann ist es eine rationale Zahl.
Die Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können, sind:
1 – Alle ganzen Zahlen;
2 – Endliche Dezimalstellen;
3 – Periodische Zehnten.
Endliche Dezimalstellen sind solche mit endlich vielen Nachkommastellen. Uhr:
1,1
2,32
4,45
Periodische Dezimalzahlen sind unendliche Dezimalzahlen, aber sie wiederholen die letzte Folge ihrer Dezimalstellen. Uhr:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Satz irrationaler Zahlen
Die Definition von irrationale Zahlen hängt von der Definition der rationalen Zahlen ab. Daher gehören alle Zahlen, die nicht zur Menge der rationalen Zahlen gehören, zur Menge der irrationalen Zahlen.
Auf diese Weise ist eine Zahl entweder rational oder irrational. Es besteht keine Möglichkeit, dass eine Zahl gleichzeitig zu diesen beiden Mengen gehört. Auf diese Weise ist die Menge der irrationalen Zahlen komplementär zur Menge der rationalen Zahlen im Universum der reellen Zahlen.
Eine andere Möglichkeit, die Menge der irrationalen Zahlen zu definieren, ist wie folgt: Die irrationalen Zahlen sind diejenigen, die Nein kann in Bruchform geschrieben werden. Sind sie:
1 - Unendliche Dezimalstellen
2 – Wurzeln nicht genau
Unendliche Dezimalzahlen sind Zahlen mit unendlichen Dezimalstellen und keine periodischen Zehnten. Beispielsweise:
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0,12345678910111213...
π
√2
Satz reeller Zahlen Number
Der Satz von reale Nummern wird durch alle oben genannten Zahlen gebildet. Seine Definition wird durch die Vereinigung zwischen der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen gegeben. Durch R repräsentiert, kann diese Menge mathematisch wie folgt geschrieben werden:
R = Q U I = {Q + I}
ich ist die Menge der irrationalen Zahlen. Somit sind alle oben genannten Zahlen auch reelle Zahlen.
Komplexe Zahlenmenge
Der Satz von komplexe Zahlen es entstand aus der Notwendigkeit, nicht-reelle Wurzeln von Gleichungen mit einem Grad größer oder gleich 2 zu finden. Beim Versuch, die x-Gleichung zu lösen2 + 2x + 10 = 0, zum Beispiel durch die Formel von Bhaskara haben wir:
x2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 und c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Welche Gleichungen zweiten Grades haben sie? < 0 haben keine echten Wurzeln. Um ihre Wurzeln zu finden, wurde die Menge der komplexen Zahlen gebildet, so dass √–36 = √36·(–1) = 6·√– 1 = 6i.
Die Elemente der Menge der komplexen Zahlen, dargestellt durch C, sind wie folgt definiert:
z ist eine komplexe Zahl, wenn z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i = √– 1.
Beziehung zwischen numerischen Sätzen
Einige numerische Mengen sind Teilmengen anderer. Einige dieser Beziehungen wurden im gesamten Text hervorgehoben, aber alle werden im Folgenden erläutert:
1 – Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen;
2 – Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen;
3 – Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen;
4 – Die Menge der irrationalen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen;
5 – Die Menge der irrationalen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen haben keine gemeinsamen Elemente;
6 – Die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen.
Indirekt ist es möglich, andere Beziehungen herzustellen. Man kann beispielsweise sagen, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen ist.
Es ist auch möglich, das Gegenteil der zuvor erwähnten Beziehungen und der indirekten Beziehungen, die aufgebaut werden können, zu lesen. Dazu genügt es beispielsweise zu sagen, dass die Menge der ganzen Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen enthält.
Unter Verwendung der mengentheoretischen Symbologie können diese Beziehungen wie folgt geschrieben werden:
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
