Was ist die Menge der irrationalen Zahlen?

Sie numerische Sätze sind Gruppierungen von Zahlen, die sie nach ihren wichtigsten Merkmalen und auch unter Berücksichtigung ihres Entstehungsprozesses trennen. Der Satz von irrationale Zahlen ist derjenige, dessen Elemente sind Dezimal Zahlen das kann nicht das ergebnis sein Einteilung zwischen zwei ganzen Zahlen. Diese Definition ist das Gegenteil der Definition von Rationale Zahl: eine beliebige Zahl, die in der Form written geschrieben werden kann Fraktion.

Kurze Geschichte

Rationale Zahlen wurden aus der Notwendigkeit geschaffen, Gegenstände zwischen Menschen aufzuteilen. Später, die Zahlenreihe, wobei jeder Punkt einer einzelnen reellen Zahl entspricht. Bei genauerer Analyse stellten die Mathematiker fest, dass es „Löcher“ in der Zahlengeraden gab und dass es keine rationalen Zahlen gab, die sich auf diese Punkte bezogen. Es bestand zunächst der Verdacht, dass es viel mehr Zahlen als nur rationale Zahlen (Menge, die natürliche und ganze Zahlen enthält) gibt.

Im Laufe der Zeit wurde erkannt, dass diese Lücken mit unendlichen Dezimalzahlen und nicht mit periodischen Zahlen gefüllt werden sollten. Nach und nach wurde auch erkannt, dass einige dieser Dezimalstellen durch

Wurzeln nicht genau.

Darstellung des Irrationalen auf dem Zahlenstrahl

Zeichne ein Quadrat der Seite 1 mit einem der Eckpunkte am Ursprung einer Zahlengeraden und berechne seine Diagonalmaß durch Satz des Pythagoras:

Berechnung der Diagonale der quadratischen Seite 1 zur Darstellung der irrationalen Zahl √2

d² = 1² + 1²

d² = 1 + 1

d² = 2

d = √2

Da die Diagonale dieses Quadrats √2 misst, verwenden Sie einfach einen Kompass, um dieses Maß zum zu „transportieren“. Zahlenreihe. Platzieren Sie direkt unter dem Quadrat das feste Ende des Quadrats am Anfang der Diagonale und das bewegliche Ende am Ende. Drehen Sie den Kompass und markieren Sie, wo dieses Ende auf den Zahlenstrahl trifft.

Welche Zahlen sind irrational?

Sie irrationale Zahlen sind diejenigen, die nicht rational sind. Ihre Vertreter sind daher:

• Alle einmaligen unendlichen Dezimalstellen

Beachten Sie, dass die folgende Zahl nicht periodisch ist, sondern unendlich weiterlaufen kann.

1,2345678910111213141516171819202122...

Einige dieser Zahlen lassen sich durch ungenaue Wurzeln darstellen und andere sind so wichtig, dass ihnen ein „Name“ gegeben wurde.

Bemerkenswerte irrationale Zahlen

Innerhalb der Menge von irrationale Zahlen Es gibt einige Elemente, die von großen Mathematikern in der Antike verwendet wurden. Wir werden hier nur zwei davon hervorheben: π und φ.

Die irrationale Zahl π ergibt sich aus dem Ergebnis der Division zwischen Länge und den Durchmesser eines Kreises und stellt die Zahl beginnend mit folgenden Dezimalstellen dar:

3,14159265358979...

Da diese Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat und keine periodische Dezimalzahl ist, ist sie irrational.

Die goldene Zahl, dargestellt durch den griechischen Buchstaben φ, bezieht sich auf die perfekte Proportion und ist proportional zu:

1 + √5
2

Somit ist die Zahl φ = 1,6180339... ist auch ein irrationale Zahl.

Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-conjunto-dos-numeros-irracionais.htm