Im Gegensatz zu den von ihm geformten geometrischen Figuren, Ergebnis hat keine Definition. Dies bedeutet, dass ein Punkt in der Geometrie ein undefiniertes Objekt ist, das zum Definieren anderer Objekte verwendet wird. Linien sind zum Beispiel Mengen von Punkten. Obwohl sie gut definiert aussehen, haben die Linien auch keine Definition, da jede Menge mit zwei oder mehr Punkten als gerade betrachtet wird.
In der analytischen Geometrie hingegen wird der Punkt als Ort verwendet. Jeder Ort kann durch einen Punkt dargestellt werden und zusätzlich wird die „Adresse“ dieses Punktes durch Koordinaten angegeben.
In der analytischen Geometrie können Punkte jedoch nur Orte angeben. Andere Objekte werden benötigt, um Flugbahn, Richtung, Richtung und Intensität anzuzeigen. Im Fall der letzten drei ist das gewählte Objekt, um sie in der kartesischen Ebene darzustellen, das Vektor.
→ Was ist ein Vektor?
Vektoren, sind daher Objekte, die Richtung, Sinn und Intensität anzeigen. Sie werden normalerweise durch Pfeile dargestellt, die vom Ursprung ausgehen, und es werden die Koordinaten ihres letzten Punktes verwendet.
Im obigen Bild sind die Vektoren so dargestellt, also Pfeile, deren Koordinaten ihrem Endpunkt entsprechen. Vektor u hat Koordinaten (2,2) und Vektor v hat Koordinaten (4,2). Außerdem wird der Pfeil verwendet, um Richtung und Richtung anzuzeigen, und seine Größe zeigt die Intensität an.
→ Vektormultiplikation mit einer Zahl
Bei gegebenem Vektor v = (a, b) ergibt sich das Produkt der reellen Zahl k durch v durch den Ausdruck:
k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)
Mit anderen Worten, um eine reelle Zahl mit einem Vektor zu multiplizieren, müssen Sie die reelle Zahl mit jeder ihrer Koordinaten multiplizieren.
Geometrisch erhöht die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl die Größe des Vektors linear:
Beachten Sie, dass im obigen Beispiel der Vektor u die Koordinaten (2.2) und der Vektor u·k die Koordinaten (4.4) hat. Wenn wir die Gleichung (4.4) = k (2.2) lösen, können wir schlussfolgern, dass k = 2.
→ Vektoren hinzufügen
Bei zwei Vektoren u = (a, b) und v = (c, d) erhält man die Summe zwischen ihnen durch den Ausdruck:
u + v = (a + c, b + d)
Mit anderen Worten, addieren Sie einfach die entsprechenden Koordinaten jedes Vektors. Diese Operation ist auf eine Summe von 3 oder mehr Vektoren mit 3 oder mehr Dimensionen erweiterbar.
Geometrisch wird ausgehend vom Endpunkt des Vektors u ein Vektor v' parallel zum Vektor v gezeichnet. Ausgehend von Vektor v wird ein Vektor u' parallel zum Vektor u gezeichnet. Diese vier Vektoren bilden ein Parallelogramm. Der Vektor u + v ist die folgende Diagonale dieses Parallelogramms:
Um Vektoren zu subtrahieren, betrachten Sie die Subtraktion als die Summe eines Vektors und des Gegenteils eines anderen. Um beispielsweise den Vektor v vom Vektor u zu subtrahieren, schreiben Sie: u – v = u + (-v). Der -v-Vektor ist der v-Vektor, jedoch mit umgekehrten Koordinatenzeichen.
Bei genauerer Betrachtung sind die Operationen "Vektor mit einer Zahl multiplizieren" und "Vektoren hinzufügen" Verwenden Sie Multiplikations- und Additionsoperationen für reelle Zahlen, aber für jede Komponente der Vektor. Daher gelten für Vektoren alle Eigenschaften der Addition und Multiplikation reeller Zahlen, nämlich:
Gegeben die Vektoren u, v und w und die reellen Zahlen k und l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) es gibt einen Vektor 0 = (0.0) mit v + 0 = v
iv) Es gibt einen Vektor -v mit v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard eines Vektors
Die Norm eines Vektors entspricht dem Betrag einer reellen Zahl, dh dem Abstand zwischen einem Vektor und dem Punkt (0,0) oder, je nach Bezugssystem, der Länge des Vektors.
Die Norm des Vektors v = (a, b) wird bezeichnet mit ||v|| und kann mit dem Ausdruck berechnet werden:
||v|| = √(a2 + b2)
→ Internes Produkt
Inneres Produkt ist vergleichbar mit dem Produkt zwischen Vektoren. Beachten Sie, dass das oben erwähnte Produkt das Produkt zwischen einem Vektor und einer reellen Zahl ist. Das fragliche „Produkt“ liegt nun zwischen zwei Vektoren. Allerdings sollte man nicht „Produkt zwischen zwei Vektoren“ sagen, sondern „internes Produkt zwischen zwei Vektoren“. Das innere Produkt zwischen den Vektoren v = (a, b) und u = (c, d) wird bezeichnet mit
Es ist auch üblich, die folgende Schreibweise zu verwenden:
Beachten Sie, dass wir mit der Norm des Vektors v = (a, b) die Norm und das Skalarprodukt in Beziehung setzen können.
||v|| = √(a2 + b2) = (a·a + b·b) = √(
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm