Ö rechtwinkliges Dreieck bekommt diesen Namen, weil einer seiner Winkel hat ein Maß von 90ºd.h. es ist ein rechter Winkel. Als eines der am besten untersuchten Polygone in ebene Geometrie, konnte man einige Beziehungen zwischen den Winkeln und auch zwischen den Seiten dieser Figur erkennen.
Ö Satz des Pythagoras, zum Beispiel wurde es nach der Erkenntnis entwickelt, dass es einen Zusammenhang zwischen den Maßen der Seiten des Dreiecks gibt. Wenn man also die Maße von zwei Seiten des Dreiecks kennt, ist es möglich, den Wert der dritten Seite zu berechnen. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate der Beine immer gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.
Neben dem Satz des Pythagoras war ein weiteres wichtiges Gebiet, das durch das Studium dieses Dreiecks entwickelt wurde, die Trigonometrie, in dem die Verhältnisse zwischen den Seiten des Dreiecks, bekannt als Sinus, Cosinus und Tangens, entwickelt werden. Aus diesen Gründen wurde festgestellt, dass zwischen den Messungen der Seiten von rechtwinkligen Dreiecken mit gleichen Winkeln ein Verhältnis besteht.
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Funktionen des rechtwinkligen Dreiecks
Das rechtwinklige Dreieck ist a Polygon mit drei Seitenund drei Winkel, und einer dieser Winkel ist gerade, dh er hat 90º. Die anderen beiden Winkel sind spitz, dh kleiner als 90º. Die längste Seite, die immer dem 90°-Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse, und die anderen beiden heißen Pekaris.
Das rechtwinklige Dreieck behält alle bekannten Eigenschaften des gemeinsamen Dreiecks, wie zum Beispiel die Tatsache, dass Das Summe der Innenwinkel gleich 180º. sein. Da die Summe immer 180º beträgt und einer seiner Winkel bereits 90º hat, können wir sagen, dass die anderen beiden Winkel immer komplementär sind, d.h. ihre Summe ist ebenfalls gleich 90º.
a und b → Brüste
c → Hypotenuse
Umfang des rechtwinkligen Dreiecks
Der Umfang eines Polygons ist die Länge der Summe aller seiner Seiten. Um den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, addieren Sie einfach seine Seiten.
P = a + b + c
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rechtwinkliger Dreiecksbereich
DAS Dreiecksbereich Rechteck, sowie a Dreieck any, ist die Hälfte des Produkts zwischen der Basis und der Höhe. Das Besondere am rechtwinkligen Dreieck ist, dass einer seiner Schenkel mit seiner Höhe übereinstimmt, da sie senkrecht aufeinander stehen. Um die Fläche zu berechnen, wir multiplizieren die Beine und teilen das Ergebnis durch zwei.
Beispiel:
Berechnen Sie den Umfang und die Fläche des rechten Dreiecks unten und wissen Sie, dass seine Seiten in Zentimetern angegeben sind.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Jetzt berechnen wir die Fläche:
Auch sehen: Berechnen der Fläche eines Dreiecks mit Winkeln
Satz des Pythagoras
Der bekannteste Satz in der Mathematik ist ohne Zweifel der Satz des Pythagoras. Aus diesem Satz war es möglich zu sehen, dass die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks wie folgt zusammenhängen: gegeben jedes rechtwinklige Dreieck, die Summe der Quadrate der Beine ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
a² + b² = c²
a und b → Brüste
c → Hypotenuse
Aus diesem Satz ist es möglich, den Wert jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, solange die anderen beiden bekannt sind.
Beispiel:
Welchen Wert hat die Hypotenuse des darunter liegenden rechtwinkligen Dreiecks, wenn man weiß, dass seine Maße in Zentimetern angegeben sind?
Wenden wir den Satz des Pythagoras an, müssen wir:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x=√100
x = 10 cm
Um mehr über diese wichtige Beziehung zu erfahren, lesen Sie den Text: TPythagoras' Eorem.
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Der Name Trigonometrie verweist bereits auf seinen Untersuchungsgegenstand:
- drei → drei;
- gono → Winkel;
- Metriken → Metrik oder Maß.
Somit ist die Trigonometrie der Bereich der Mathematik, der untersucht die Beziehung zwischen den Messungen der Winkel des Dreiecks und hier bleiben wir beim rechtwinkligen Dreieck. Trigonometrie untersucht das Verhältnis zwischen den Seiten des Dreiecks gemäß seiner Winkel. Damit konnten wichtige Konzepte entwickelt werden, die die Gründe sind Sinus, Cosinus und Tangens. Es ist erwähnenswert, dass mit der Vertiefung des Studiums der Trigonometrie im trigonometrischen Kreis andere trigonometrische Gründe entwickelt wurden.
Bevor Sie verstehen, was jedes dieser Verhältnisse ist, ist es wichtig zu verstehen, was eine gegenüberliegende Seite und was eine benachbarte Seite in einem Winkel eines Dreiecks ist.
Wie wir gesehen haben, ist die Hypotenuse ist die durch das Segment AB dargestellte Seite, da es immer die längste Seite des Dreiecks ist und auch die Seite mit 90º-Winkel. Die anderen Seiten werden als Beine bezeichnet. Abhängig von dem Winkel, den wir als Referenz nehmen, kann die Seite gegenüberliegend oder benachbart sein.
Das Pekari wird als das Gegenteil bezeichnet, wenn es dem Winkel zugewandt ist. Der gegenüberliegende Seitenwinkel ꞵ ist zum Beispiel die Seite AC; auf der anderen Seite ist die Seite, die dem Winkel lado gegenüberliegt, die Seite BC.
Ö Pekari ist als benachbart bekannt als er bildet den Winkel nahe der Hypotenuse. Beachten Sie, dass der Winkel ꞵ zwischen der Seite BC und AB liegt. Da AB die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist, ist AB ein Schenkel neben dem Winkel ꞵ. Mit der gleichen Argumentation ist es möglich zu sehen, dass die lado AC ist die angrenzende Seite des Winkels ɑ.
Durch das Verstehen jeder Seite des Dreiecks ist es möglich, die trigonometrische Verhältnisse.
Um trigonometrische Verhältnisse anzuwenden, müssen wir die bemerkenswerten Winkel kennen, dh die Winkel von 30º, 45º und 60º. Die meisten Prüfungs- und Aufnahmeprüfungsprobleme sind mit diesen Winkeln verbunden, und es ist daher notwendig, die Werte der Gründe für jeden von ihnen zu kennen.
Siehe die Tabelle mit den Sinus-, Cosinus- und Tangenswerten für die bemerkenswerten Winkel:
Wenn man den Wert der trigonometrischen Verhältnisse des Dreiecks anhand einer Seite und eines Winkels kennt, ist es möglich, alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Trigonometrie zu finden.
Beispiel:
Finden Sie den Wert von x.
Um den Wert von x zu ermitteln, schauen wir uns den angegebenen Winkel an. Beachten Sie, dass es an die Seite angrenzt, von der wir das Maß kennen, dh AC grenzt an den 30°-Winkel. Dann wenden wir das Tangentenverhältnis an, das die angrenzende Seite und die Hypotenuse in Beziehung setzt. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, wissen wir auch, dass der Kosinus von 30 gleich √3/2 ist.
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Übungen gelöst
Frage 1 - (IFG) Theodolit ist ein Präzisionsinstrument zur Messung von Horizontalwinkeln und Vertikalwinkeln, das bei Bauarbeiten verwendet wird. Eine Firma wurde beauftragt, ein vierstöckiges Gebäude zu streichen. Um die zu bemalende Gesamtfläche zu ermitteln, muss sie die Höhe des Gebäudes ermitteln. Eine Person positioniert das Instrument in 1,65 Meter Höhe und sucht einen Winkel von 30°, wie in der Abbildung gezeigt. Angenommen, der Theodolit ist 13√3 Meter vom Gebäude entfernt, wie hoch ist dann das zu streichende Gebäude in Metern?
A) 11,65
B) 12.65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15.65
Auflösung
Alternative D.
Da wir die dem 30°-Winkel gegenüberliegende Seite finden möchten, da wir wissen, dass der Abstand 13√3, der der Abstand vom Theodoliten zum Gebäude ist, die dem 30°-Winkel benachbarte Seite ist, verwenden wir die Tangente:
Jetzt addieren wir 13 + 1,65 = 14,65 Meter hoch.
Frage 2 - Um auf seinem Grundstück zu pflanzen, teilte ein Bauer sein bebaubares Land in der rechteckigen Form in zwei Hälften auf der Diagonale, wodurch zwei rechtwinklige Dreiecke gebildet wurden. In dieser Abteilung wird die Hälfte des Landes mit Draht umzäunt, wobei 4 Drähte verwendet werden. In dem Wissen, dass das Land 20 Meter breit und 21 Meter lang ist, wie viel wird für Draht ausgegeben?
A) 29 Meter
B) 70 Meter
C) 140 Meter
D) 210 Meter
E) 280 Meter
Auflösung
Alternative E.
Lassen Sie uns zuerst die Geländediagonale ermitteln, die die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist. Um es einfacher zu machen, machen wir das Situationsbild:
Wir müssen also:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d=29
Um herumzukommen, müssen wir 29 + 20 + 21 = 70 Meter machen, da werden 4 Runden 70 · 4 = 280 Meter sein.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
