Umkehrfunktion: Was ist das, Graph, Übungen

DAS Umkehrfunktion, wie der Name schon sagt, ist der Funktion f(x)^-1, was genau die Umkehrung der Funktion f(x) macht. Damit eine Funktion eine Inverse unterstützt, muss sie Bijektor, d. h. Injektor und Surjektor gleichzeitig. Das Bildungsgesetz einer Umkehrfunktion bewirkt das Gegenteil von dem, was die Funktion f(x) tut.

Wenn die Funktion beispielsweise einen Wert von Domain und addiert 2, die Umkehrfunktion, anstatt zu addieren, subtrahiert 2. finde die inverses Funktionsbildungsgesetz es ist nicht immer eine leichte Aufgabe, da es notwendig ist, die Unbekannten x und y zu invertieren sowie y in der neuen Gleichung zu isolieren.

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Wann unterstützt eine Funktion Inverse?

Grafische Darstellung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion.

Eine Rolle ist invertierbar, d. h. sie hat genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie Bijektor. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, was a Bijektorfunktion, was eine Funktion ist Injektor

, das heißt, jedes Element des Bildes hat einen einzigen Domänenkorrespondenten. Dies bedeutet, dass verschiedene Elemente in Menge A mit verschiedenen Elementen in der verknüpft werden müssen Menge B, d. h., es kann nicht zwei oder mehr Elemente der Menge A geben, die die gleiche Entsprechung in der B einstellen.

Eine Rolle ist surjektiv wenn das Bild gleich der Gegendomäne ist, das heißt, es gibt kein Element in Menge B, dem kein Element in Menge A zugeordnet ist.

Sei die Funktion f: A → B, wobei A Domäne und B ist Gegendomäne, die Umkehrfunktion von f ist die durch f. beschriebene Funktion^-1 : B→ A, dh die Domäne und die Gegendomäne sind invertiert.

Beispiel:

Die Funktion f: A → B ist bijektiv, da sie injektiv ist (schließlich gehören verschiedene Elemente in A zu verschiedene Elemente in B) und es ist auch surjektiv, da es kein Element mehr in Menge B gibt, d.h. die Gegendomäne ist die gleiche wie die einstellen Bild.

Daher ist diese Funktion invertierbar und ihre Umkehrung ist:

Wie wird das Umkehrfunktionsbildungsgesetz bestimmt?

Um das inverse Funktionsbildungsgesetz zu finden, brauchen wir die Unbekannten umkehren, dh Ersetzen von x durch y und y durch x, und dann Isolieren des Unbekannten y. Dazu ist es wichtig, dass die Funktion invertierbar ist, also Bijektor.

→ Beispiel 1

Finden Sie das Bildungsgesetz der Umkehrfunktion von f (x) = x + 5.

Auflösung:

Wir wissen, dass f(x) = y, also y = x + 5. Wenn wir die Inversion von x und y durchführen, finden wir Folgendes: Gleichung:

x = y + 5

Jetzt isolieren wir das y:

– 5 + x = y
y = x – 5

Wenn f(x) 5 zum Wert von x addiert, dann ist seine Umkehrung f(x) ^{- 1} wird das Gegenteil tun, d. h. x minus 5.

→ Beispiel 2

Wie lautet das Bildungsgesetz ihrer Umkehrung bei gegebener Funktion, deren Bildungsgesetz f(x) = 2x – 3 ist?

→ Beispiel 3

Berechnen Sie das Bildungsgesetz der Inversen der Funktion y = 2^x.

Auflösung:

y = 2^x
x für y ändern:
x = 2^ja

bewirbt sich Logarithmus auf beiden Seiten:

Log₂x = log₂2^ja
Log₂x = ylog₂2
Log₂x = y · 1
Log₂x = y
y = log₂x

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Inverser Funktionsgraph

Der Graph der Umkehrfunktion f ^-1 es wird immer symmetrisch zum Graphen der Funktion f in Bezug auf die Linie y = x sein, was es ermöglicht, das Verhalten dieser zu analysieren Funktionen, obwohl wir das inverse Funktionsbildungsgesetz in einigen Fällen aufgrund seiner Komplexität.

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Übungen gelöst

1) Wenn f^-1 ist die Umkehrfunktion von f, die von R nach R geht, deren Bildungsgesetz f (x) = 2x – 10 ist, der Zahlenwert von f ^-1(2) é:

bis 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Auflösung:

→ 1. Schritt: finde die Umkehrung von f.

→ 2. Schritt: Ersetze 2 anstelle von x in f ^-1(x).

Alternative C.

2) Sei f: A → B eine Funktion, deren Bildungsgesetz f (x) = x² + 1 ist, wobei A {-2, -1, 0, 1, 2} und B = {1,2,5}, es ist richtig zu sagen:

a) Die Funktion ist invertierbar, da sie Bijektor ist.

b) die Funktion ist nicht invertierbar, da sie nicht injiziert.

c) die Funktion ist nicht invertierbar, da sie nicht surjektiv ist

d) Die Funktion ist nicht invertierbar, da sie weder surjektiv noch injizierend ist.

e) Die Funktion ist nicht invertierbar, da sie Bijektor ist.

Auflösung:

Damit die Funktion invertierbar ist, muss sie bijektiv sein, also surjektiv und injizierend. Lassen Sie uns zuerst analysieren, ob es surjektiv ist.

Damit die Funktion surjektiv ist, müssen alle Elemente von B ein Gegenstück in A haben. Um dies zu wissen, berechnen wir jeden seiner numerischen Werte.

f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

f (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

Beachten Sie, dass alle Elemente von B {1,2,5} eine Entsprechung in A haben, was die Funktion surjektiv.

Damit diese Funktion injizieren kann, müssen von A verschiedene Elemente verschiedene Bilder in B haben, was nicht der Fall ist. Beachten Sie, dass f(-2) = f (2) und auch f(-1) = f (1) ist, was die Funktion nicht spritzen. Da es sich nicht um einen Injektor handelt, ist es auch nicht umkehrbar; deshalb, Alternative b.

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm