Exponentialfunktion: Typen, Graph, Übungen

DAS Exponentialfunktion tritt auf, wenn die Variable in ihrem Bildungsgesetz im Exponenten liegt, mit Domäne und Gegendomäne im reale Nummern. Der Bereich der Exponentialfunktion sind die reellen Zahlen und der Zählerbereich sind die von Null verschiedenen positiven reellen Zahlen. Ihr Ausbildungsgesetz lässt sich beschreiben durch f(x) =Das^x, auf was Das ist eine positive reelle Zahl außer 1.

Ö Grafik einer Exponentialfunktion liegt immer im ersten und zweiten Quadranten der kartesischen Ebene und kann ansteigen, wenn Das eine Zahl größer als 1 ist oder abnehmend ist, wenn Das ist eine positive Zahl kleiner als 1. DAS Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die logarithmische Funktion, die die Graphen dieser Funktionen immer symmetrisch macht.

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Was ist eine Exponentialfunktion?

Wie der Name schon sagt, ist der Begriff Exponential mit Exponent verbunden. Die Exponentialfunktionsdefinition ist also a Funktion, deren Domain ist die Menge der reellen Zahlen, und der Zählerbereich ist die Menge der von Null verschiedenen positiven reellen Zahlen.

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, beschrieben durch : ℝ → ℝ*₊. Sein Bildungsgesetz wird beschrieben durch die Gleichung f (x) = Das^x, auf was Das es ist eine beliebige reelle Zahl, positiv, nicht null und mit dem Basisnamen.

Beispiele:

Im Bildungsgesetz kann f (x) auch als y beschrieben werden und ist wie in den anderen Funktionen als abhängige Variable bekannt, da ihr Wert von x abhängt, die als Variable bekannt ist. unabhängig.

Exponentielle Funktionstypen

Die Exponentialfunktionen können in zwei verschiedene Fälle eingeteilt werden. Unter Berücksichtigung des Verhaltens der Funktion kann es sein aufsteigend oder absteigend.

Eine Exponentialfunktion heißt steigend, wenn mit steigendem Wert von x auch der Wert von f(x) ansteigt. Dies tritt auf, wenn die Basis größer als 1 ist, d. h.: Das > 1.

Beispiel:

Graph einer ansteigenden Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion wird als abnehmend angesehen, wenn der Wert von x mit zunehmendem Wert von f(x) abnimmt. Dies tritt auf, wenn die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, dh 0 < Das < 1.

Beispiel:

Graph einer absteigenden Exponentialfunktion

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Exponentialfunktionsgraph

Um die grafische Darstellung einer Exponentialfunktion zu zeichnen, ist es notwendig, das Bild für einige Domänenwerte zu finden. Der Graph einer Exponentialfunktion hat die Eigenschaft eines Wachstums, das viel größer ist als das von lineare Funktionen, wenn sie ansteigt, oder eine stärkere Abnahme, wenn sie abnimmt.

Beispiele:

a) Erstellen Sie den Graphen der Funktion: f (x) = 2^x.

Da >1 ist diese Funktion ansteigend. Um das Diagramm zu erstellen, weisen wir x einige Werte zu, wie in der folgenden Tabelle gezeigt:

Da wir nun einige Punkte der Funktion kennen, ist es möglich, diese im Kartesische Ebene und zeichnen Sie die Exponentialfunktionskurve.

b) Erstellen Sie den Graphen der folgenden Funktion:

In diesem Fall ist die Funktion absteigend, da die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, dann wird der Graph absteigend sein.

Nachdem einige Zahlenwerte gefunden wurden, ist es möglich, den Graphen der Funktion in der kartesischen Ebene darzustellen:

Exponentialfunktionseigenschaften

→ 1. Eigenschaft

In jeder Exponentialfunktion, unabhängig von ihrem Basiswert Das, Wir müssenf (0) = 1. Schließlich wissen wir, dass dies ein Potenz-Eigenschaft, d. h. jede auf 0 angehobene Zahl ist 1. Dies bedeutet, dass der Graph die vertikale Achse jedes Mal am Punkt (0.1) schneidet.

→ 2. Eigenschaft

Die Exponentialfunktion ist Injektor. Daten x₁ und x₂ so dass x₁ x₂, also werden die Bilder auch anders sein, dh f(x₁) ≠ f(x₂), was bedeutet, dass es für jeden Bildwert einen einzelnen Wert in der Domäne gibt, die diesem Bild entspricht.

Injektiv bedeutet, dass es für andere Werte als y einen einzigen Wert von x gibt, der f(x) gleich y macht.

→ 3. Eigenschaft

Es ist möglich, das Verhalten der Funktion gemäß ihrem Basiswert zu kennen. Der Graph wächst, wenn die Basis größer als 1 ist (Das > 1) und abnehmend, wenn die Basis kleiner als 1 und kleiner als 0 ist (0 < bis < 1).

→ 4. Eigenschaft

Ö Graph der Exponentialfunktion liegt immer im 1. und 2. Quadranten, weil die Gegendomäne der Funktion die von Null verschiedenen positiven Realen sind.

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Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Da die Exponentialfunktion eine Funktion ist, die Inverse zulässt, ist dieser Vergleich zwischen Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion unvermeidlich. stellt sich heraus, dass die logarithmische Funktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Die Graphen dieser Funktionen sind symmetrisch um die Winkelhalbierende der x-Achse. Eine Umkehrfunktion zu sein bedeutet, dass die logarithmische Funktion macht das Gegenteil von dem, was die Exponentialfunktion tut, d. h. in der Exponentialfunktion, wenn f (x) = y, dann wird die logarithmische Funktion, die invers ist, mit f bezeichnet^-1 das f^-1 (y) = x.

Der Graph der Exponentialfunktion ist symmetrisch zum Graphen der logarithmischen Funktion.

Übungen gelöst

(Enem 2015) Die Arbeitergewerkschaft eines Unternehmens schlägt vor, dass die Gehaltsuntergrenze der Klasse R$ 1.800,00 beträgt, und schlägt eine feste prozentuale Erhöhung für jedes Arbeitsjahr vor. Der Ausdruck, der dem Gehaltsvorschlag (s) in Abhängigkeit von der Dienstzeit (t) in Jahren entspricht, ist s (t) = 1800·(1,03)^t.

Nach dem Vorschlag der Gewerkschaft beträgt das Gehalt eines Berufstätigen aus diesem Unternehmen mit 2 Dienstjahren in Real

a) 7.416,00

b) 3.819,24

c) 3.709,62

d) 3.708,00

e) 1909.62

Auflösung:

Wir wollen das Bild der Funktion berechnen, wenn t = 2, also s(2). Setzen wir t = 2 in die Formel ein, so finden wir:

s (2) = 1800 · (1.03)²

s(2) = 1800 · 1,0609

s(2) = 1909.62

Alternative E

2) (Enem 2015) Das Hinzufügen von Technologien in das industrielle Produktionssystem zielt darauf ab, Kosten zu senken und die Produktivität zu steigern. Im ersten Betriebsjahr produzierte eine Industrie 8000 Einheiten eines bestimmten Produkts. Im folgenden Jahr wurde in Technologie investiert, neue Maschinen angeschafft und die Produktion um 50 % gesteigert. Es wird geschätzt, dass sich dieser prozentuale Anstieg in den kommenden Jahren wiederholen wird, was ein jährliches Wachstum von 50 % garantiert. Sei P die jährliche Produktmenge, die im Jahr t des Betriebs der Industrie hergestellt wird.

Wenn die Schätzung erreicht ist, welcher Ausdruck bestimmt die Anzahl der produzierten Einheiten? Pin Funktion von t, zum t ≥ 1?

Das) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

ç)P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

und)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Auflösung:

Beachten Sie, dass es eine Beziehung zwischen dem Jahr gibt t und die Menge eines bestimmten Produkts P. In Anbetracht der Tatsache, dass es für jedes Jahr eine Steigerung von 50% gibt, bedeutet dies, dass beim Vergleich der Produktion eines Vor- und eines Jahres der Wert des zweiten Jahres 150% entspricht, was 1,5 entspricht. Da wir wissen, dass die ursprüngliche Produktion 8000 beträgt und dies im ersten Jahr die Produktion war, können wir diese Situation wie folgt beschreiben:

Im ersten Jahr, also wenn t= 1 → s (t) = 8 000.
Im zweiten Jahr, wenn t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
Im dritten Jahr, wenn t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Nach t Jahren haben wir P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.