Polynomialer Zerlegungssatz

Der Fundamentalsatz der Algebra für Polynomgleichungen garantiert, dass "Polynom jeden Grades Nr. 1 hat mindestens eine komplexe Wurzel". Der Beweis dieses Satzes wurde 1799 von dem Mathematiker Friedrich Gauß erbracht. Daraus können wir die Polynom-Zerlegungssatz, die garantiert, dass jedes Polynom in Faktoren ersten Grades zerlegt werden kann. Nehmen Sie das folgende Polynom p(x) der Klasse n ≥ 1 und die_Nein ≠ 0:

p(x) = a_Nein x^Nein + die_n-1 x^n-1 + … + die₁x¹ + die₀

Durch den Fundamentalsatz der Algebra können wir feststellen, dass dieses Polynom mindestens eine komplexe Wurzel hat. du₁, so dass p(u₁) = 0. Ö Satz von D'Alembertt zum Division von Polynomen besagt, dass wenn p(u₁) = 0, dann p(x) ist teilbar durch (x - u₁), ergibt einen Quotienten Was₁(x), das ein Gradpolynom ist (n - 1), was uns zu der Aussage führt:

p (x) = (x - u₁). Was₁(x)

Aus dieser Gleichung müssen zwei Möglichkeiten hervorgehoben werden:

Wenn u = 1 und Was₁(x) ist ein Polynom vom Grad (n - 1), dann Was₁(x) hat einen Abschluss

0. Als dominanter Koeffizient von p(x) é Das_Nein, Was₁(x) ist ein konstantes Polynom vom Typ Was₁(x)=Das_Nein. Also haben wir:

p (x) = (x - u₁). Was₁(x)
(x) = (x - u₁). Das_Nein
p(x) = a_Nein . (x - u₁)

Aber falls u 2, dann ist das Polynom Was₁ hat einen Abschluss n – 1 ≥ 1 und es gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Wir können sagen, dass das Polynom Was₁ hat mindestens eine Wurzel Nein₂, was uns dazu bringt, das zu sagen Was₁ kann geschrieben werden als:

Was₁(x) = (x - u₂). Was₂(x)

Aber wie p (x) = (x - u₁). Was₁(x), wir können es umschreiben als:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). Was₂(x)

Wenn wir diesen Vorgang sukzessive wiederholen, haben wir:

p(x) = a_Nein. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_Nein)

Daraus können wir schließen, dass jedes Polynom oder jede Polynomgleichung p(x) = 0 der Klasse Nr. 1 genau besitzen Nein komplexe Wurzeln.​

Beispiel: Sein p(x) ein Polynom vom Grad 5, so dass seine Wurzeln – 1, 2, 3, – 2 und 4. Schreiben Sie dieses Polynom zerlegt in Faktoren 1. Grades unter Berücksichtigung der dominanter Koeffizient gleicht 1. Es muss in erweiterter Form geschrieben werden:

wenn – 1, 2, 3, – 2 und 4 sind Nullstellen des Polynoms, also das Produkt der Differenzen von x für jede dieser Wurzeln ergibt sich p(x):

p(x) = a_Nein.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Wenn der dominante Koeffizient Das_Nein = 1, wir haben:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12. (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Von Amanda Gonçalves
Abschluss in Mathematik

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm