Matrixmultiplikation: Berechnung, Beispiele

DAS ichMatrix-Multiplikation erfolgt durch einen Algorithmus, der viel Aufmerksamkeit erfordert. Damit das Produkt zwischen Matrix A und Matrix B existiert, es ist notwendig, dass die Anzahl der Säulen gibt zuerst Hauptquartier, im Falle A, ist gleich der Anzahl von Linien gibt Montag Hauptquartier, im Fall B.

Aus der Multiplikation zwischen Matrizen ist es möglich zu verstehen, was die Identitätsmatrix ist, die die neutrales Element der Matrixmultiplikation, und was ist die inverse Matrix von Matrix M, die Matrix M ist^-1 dessen Produkt von M durch M^-1 ist gleich der Identitätsmatrix. Es ist auch möglich, eine Matrix mit einer reellen Zahl zu multiplizieren – in diesem Fall multiplizieren wir jeden der Terme der Hauptquartier nach Nummer.

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Existenzbedingung

Die Multiplikation zwischen Matrizen ist ein Vorgang, der viel Aufmerksamkeit erfordert.

Um zwei Matrizen zu multiplizieren, muss zunächst die Existenzbedingung überprüft werden. Damit das Produkt existiert,

die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix muss der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entsprechen. Außerdem ist das Ergebnis der Multiplikation eine Matrix, die die gleiche Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix hat.

Zum Beispiel das Produkt AB zwischen Matrizen A_3x2 und B_2x5 existiert, weil die Anzahl der Spalten in A (2 Spalten) gleich der Anzahl der Zeilen in B (2 Zeilen) ist, und das Ergebnis ist die Matrix AB_3x5. Bereits Produkt zwischen C-Matrizen_3x5 und Matrix D_2x5 existiert nicht, da C 5 Spalten und D 3 Zeilen hat.

Wie berechnet man das Produkt zwischen zwei Matrizen?

Um eine Matrixmultiplikation durchzuführen, Es ist notwendig, einige Schritte zu befolgen. Wir machen ein Beispiel für die Multiplikation einer algebraischen Matrix A_2x3 nach Matrix B_3x2

Wir wissen, dass das Produkt existiert, weil Matrix A 3 Spalten und Matrix B 3 Zeilen hat. Wir nennen C das Ergebnis der Multiplikation A·B. Außerdem wissen wir auch, dass das Ergebnis eine C-Matrix ist._2x2, weil Matrix A 2 Zeilen und Matrix B 2 Spalten hat.

Um das Produkt der Matrix A. zu berechnen_2x3 und Matrix B_3x2, folgen wir ein paar Schritten.

Zuerst finden wir jeden der Terme der Matrix C_2x2:

Um die Begriffe zu finden, lassen Sie uns Beziehe die Zeilen der Matrix A immer auf die Spalten der Matrix B:

ç₁₁ → 1. Zeile von A und 1. Spalte von B
ç₁₂ → 1. Zeile von A und 2. Spalte von B
ç₂₁ → 2. Zeile von A und 1. Spalte von B
ç₂₂ → 2. Zeile von A und 2. Spalte von B

Wir berechnen jeden der Terme, indem wir die Terme in der Zeile von A und die Terme in der Spalte von B multiplizieren. Jetzt müssen wir diese Produkte hinzufügen, beginnend mit ç_11:

1. Zeile von A
1. Spalte von B

ç₁₁ = Das₁₁·B₁₁ + Das₁₂·B₂₁+ Das₁₃·B₃₁

Berechnung ç₁₂:

1. Zeile von A
2. Spalte von B

ç₁₂ = Das₁₁·B₁₂ + Das₁₂·B₂₂+Das₁₃·B₃₂

Berechnung ç₂₁:

2. Zeile von A
1. Spalte von B

ç₂₁ = Das₂₁·B₁₁ + Das₂₂·B₂₁+Das₂₃·B₃₁

Berechnung des Begriffs ç₂₂:

2. Zeile von A
2. Spalte von B

ç₂₂ = Das₂₁·B₁₂ + Das₂₂·B₂₂+Das₂₃·B₃₂

Somit wird die Matrix C durch die Terme gebildet:

Beispiel:

Berechnen wir die Multiplikation zwischen den Matrizen A und B.

Wir wissen, dass in A_2x2 und B_2x3, ist die Anzahl der Spalten in der ersten gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten, also existiert das Produkt. Also machen wir C = A· B und wissen, dass C_2x3.

Multiplizieren müssen wir:

Auch sehen: Was ist eine transponierte Matrix?

Identitätsmatrix

Bei der Multiplikation zwischen Matrizen gibt es einige Sonderfälle, wie z die Identitätsmatrix, die das neutrale Element der Multiplikation zwischen Matrizen ist.. Die Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, dh die Anzahl der Zeilen ist immer gleich der Anzahl der Spalten. Außerdem sind darin nur die Terme der Diagonalen gleich 1 und die anderen Terme sind alle gleich Null. Wenn wir eine Matrix M mit der Identitätsmatrix I. multiplizieren_Nein, Wir müssen:

M · ich_Nein = M

Identitätsmatrizen von Ordnung 2 bis Ordnung 5

Beispiel:

Was ist die inverse Matrix?

Eine gegebene Matrix M kennen wir als inverse Matrix von M. die Matrix M^-1dessen Produkt M · M^-1 gleich à Identitätsmatrix I_Nein. Damit eine Matrix eine Inverse hat, muss sie quadratisch sein, und ihre bestimmend muss von 0 verschieden sein. Schauen wir uns Beispiele für Matrizen an, die invers sind:

Wenn wir das Produkt A·B berechnen, müssen wir:

Notiere dass der Produkt zwischen A und B erzeugte Matrix I₂. In diesem Fall sagen wir, dass B die inverse Matrix von A ist. Um mehr über diese Art von Matrix zu erfahren, lesen Sie: Inverse Matrix.

Matrixmultiplikation mit einer reellen Zahl

Im Gegensatz zur Multiplikation zwischen Matrizen gibt es auch eine Matrixmultiplikation mit Eins reelle Zahl, was eine viel einfachere Operation ist, um die Lösung zu finden.

Gegeben eine Matrix M, Multiplikation der Matrix mit einer reellen Zahl k ist gleich der Matrix km. Um diese Matrix zu finden kM, genug multiplizieren Sie alle Terme in der Matrix mit der Konstanten k.

Beispiel:

wenn k = 5 und unter Berücksichtigung der unten stehenden Matrix M finden Sie die Matrix 5M.

Multiplizieren:

Übungen gelöst

Frage 1 - (Unitau) Gegeben Matrizen A und B,

der Wert des Elements c₁₁ der Matrix C = AB ist:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Auflösung

Alternative A.

Wie wollen wir den Term c₁₁, multiplizieren wir die Terme in der ersten Zeile und A mit den Termen in der ersten Spalte von B.

Berechnung von c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Frage 2 - (Enem 2012) Ein Student trug die zweimonatlichen Noten einiger seiner Fächer in eine Tabelle ein. Er stellte fest, dass die numerischen Einträge in der Tabelle eine 4×4-Matrix bildeten und er die Jahresdurchschnitte für diese Disziplinen mit dem Produkt der Matrizen berechnen konnte. Alle Tests hatten das gleiche Gewicht, und die Tabelle, die er erhielt, ist unten gezeigt.

Um diese Mittelwerte zu erhalten, multiplizierte er die aus der Tabelle erhaltene Matrix mit der Matrix:

Auflösung

Alternative E.

Der Durchschnitt ist nichts anderes als die Summe der Elemente geteilt durch die Anzahl der Elemente. Beachten Sie, dass es 4 Noten pro Zeile gibt, der Durchschnitt wäre also die Summe dieser Noten geteilt durch 4. Durch 4 zu teilen ist dasselbe wie mit zu multiplizieren Fraktion ¼. Außerdem ist die Notenmatrix eine 4x4-Matrix, also müssen wir mit einer 4x1-Matrix multiplizieren, dh sie hat 4 Zeilen und 1 Spalte, um die Matrix zu finden, die den Durchschnitt der Noten enthält.

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm