Die Konzepte von Vielfaches und Teiler einer natürlichen Zahl erstrecken sich auf die Menge von ganze Zahlen. Beim Thema Vielfache und Teiler verweisen wir auf numerische Sätze die einige Bedingungen erfüllen. Vielfache werden nach der Multiplikation mit ganzen Zahlen gefunden, und Teiler sind Zahlen, die durch eine bestimmte Zahl teilbar sind.
Aus diesem Grund werden wir Teilmengen der ganzen Zahlen finden, da die Elemente der Mengen der Vielfachen und Divisoren Elemente der Menge der ganzen Zahlen sind. Um zu verstehen, was Primzahlen sind, ist es notwendig, das Konzept der Teiler zu verstehen.
Vielfache einer Zahl
Sein Das und B zwei bekannte ganze Zahlen, die Zahl Das ist ein Vielfaches von B genau dann, wenn es eine ganze Zahl gibt k so dass Das = B · k. Und so kam es dass der Satz von Vielfachen im Daserhält man durch MultiplikationDasfür alle ganzen Zahlen, die Ergebnisse dieser Multiplikationen sind die Vielfachen von Das.
Lassen Sie uns zum Beispiel die ersten 12 Vielfachen von 2 auflisten. Dazu müssen wir die Zahl 2 mit den ersten 12 ganzen Zahlen multiplizieren, wie folgt:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Daher sind Vielfache von 2:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Beachten Sie, dass wir nur die ersten 12 Zahlen aufgelistet haben, aber wir hätten so viele wie nötig auflisten können, da die Liste der Vielfachen durch Multiplizieren einer Zahl mit allen ganzen Zahlen gegeben wird. So, die Menge der Vielfachen ist unendlich.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist, müssen wir eine ganze Zahl finden, damit die Multiplikation zwischen ihnen die erste Zahl ergibt. Siehe die Beispiele:
→ Die Zahl 49 ist ein Vielfaches von 7, weil es eine ganze Zahl gibt, die mit 7 multipliziert 49 ergibt.
49 = 7 · 7
→ Die Zahl 324 ist ein Vielfaches von 3, da es eine ganze Zahl gibt, die multipliziert mit 3 324 ergibt.
324 = 3 · 108
→ Die Zahl 523 Nein ist ein Vielfaches von 2, weil es gibt keine ganze Zahl was, multipliziert mit 2, 523 ergibt.
523 = 2 · ?
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Vielfaches von 4
Wie wir gesehen haben, müssen wir zur Bestimmung der Vielfachen der Zahl 4 die Zahl 4 mit ganzen Zahlen multiplizieren. So:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Daher sind Vielfache von 4:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Vielfache von 5
Analog haben wir Vielfache von 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Daher sind die Vielfachen von 5: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }
ein Zahlenteiler
Sein Das und B zwei bekannte ganze Zahlen, sagen wir B ist Teiler von Das wenn die nummer B ist ein Vielfaches von Das, das heißt, die Einteilung zwischen B und Das ist genau (muss gehen sich ausruhen 0).
Sehen Sie einige Beispiele:
→ 22 ist ein Vielfaches von 2, also ist 2 ein Teiler von 22.
→ 63 ist ein Vielfaches von 3, also ist 3 ein Teiler von 63.
→ 121 ist kein Vielfaches von 10, also ist 10 kein Teiler von 121.
Um die Teiler einer Zahl aufzulisten, müssen wir nach den Zahlen suchen, die sie teilen. Aussehen:
– Listen Sie die Teiler von 2, 3 und 20 auf.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Beachten Sie, dass Zahlen in der Teilerliste immer durch die fragliche Zahl teilbar sind und dass der höchste Wert, der in dieser Liste erscheint, ist die Zahl selbst., da keine größere Zahl durch sie teilbar ist.
Bei einem Teiler von 30 ist beispielsweise der größte Wert in dieser Liste 30 selbst, da keine Zahl größer als 30 durch ihn teilbar ist. So:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Mehr wissen: Wissenswertes über das Teilen natürlicher Zahlen
Eigentum an Multiplikatoren und Divisoren
Diese Eigenschaften beziehen sich auf Einteilung zwischen zwei ganzen Zahlen. Beachten Sie, dass eine ganze Zahl, die ein Vielfaches einer anderen ist, auch durch diese andere Zahl teilbar ist.
Bedenke die Divisionsalgorithmus damit wir die Eigenschaften besser verstehen können.
N = d · q + r, wobei q und r ganze Zahlen sind.
erinnere dich daran Nein wird genannt der Dividende;d, für Teiler;q, für Quotienten; und r übrigens.
→ Ausstattung 1: Die Differenz zwischen dem Dividenden und dem Rest (N – r) ist ein Vielfaches des Divisors, oder die Zahl d ist ein Divisor von (N – r).
→ Ausstattung 2: (N – r + d) ist ein Vielfaches von d, dh die Zahl d ist ein Teiler von (N – r + d).
Siehe das Beispiel:
– Bei der Division von 525 durch 8 erhalten wir den Quotienten q = 65 und den Rest r = 5. Somit haben wir den Dividenden N = 525 und den Divisor d = 8. Sehen Sie, dass die Eigenschaften erfüllt sind, denn (525 – 5 + 8) = 528 ist durch 8 teilbar und:
528 = 8 · 66
Primzahlen
Sie Primzahlen sind das die haben als Teiler in ihrer Auflistung nur die Zahl 1 und die Zahl selbst. Um zu überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, besteht eine der trivialsten Methoden darin, die Teiler dieser Zahl aufzulisten. Wenn Zahlen größer als 1 und die betreffende Zahl erscheinen, ist sie keine Primzahl.
→ Überprüfe, welche Primzahlen zwischen 2 und 20 sind. Lassen Sie uns dazu die Teiler all dieser Zahlen zwischen 2 und 20 auflisten.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Die Primzahlen zwischen 2 und 20 sind also:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19}
Beachten Sie, dass die Menge von einigen der ersten Primzahlen stammt, diese Liste geht weiter. Beachten Sie, dass je größer die Zahl ist, desto schwieriger ist es zu erkennen, ob es sich um eine Primzahl handelt oder nicht.
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gelöste Übungen
Frage 1 – (UMC-SP) Die Anzahl der Elemente in der Menge der Primteiler von 60 ist:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Lösung
Alternative A
Wir listen zuerst die Teiler von 60 auf und schauen uns dann an, welche Primzahlen sind.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Von diesen Zahlen haben wir die Primzahlen:
{2, 3, 5}
Daher ist die Anzahl der Primteiler von 60 3.
Frage 2 – Schreiben Sie alle natürlichen Zahlen kleiner als 100 und Vielfache von 15.
Lösung
Wir wissen, dass die Vielfachen von 15 das Ergebnis der Multiplikation der Zahl 15 mit allen ganzen Zahlen sind. Da die Übung verlangt, die natürlichen Zahlen kleiner als 100 zu schreiben, die ein Vielfaches von 15 sind, müssen wir multipliziere 15 mit allen Zahlen größer als Null, bis wir das größte Vielfache vor 100 finden, so:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Daher sind natürliche Zahlen kleiner als 100 und Vielfache von 15:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
Frage 3 – Was ist das größte Vielfache von 5 zwischen 100 und 1001?
Lösung
Um das größte Vielfache von 5 zwischen 100 und 1001 zu bestimmen, identifizieren Sie einfach das erste Vielfache von 5 von hinten nach vorne.
1001 ist kein Vielfaches von 5, da es keine ganze Zahl gibt, die multipliziert mit 5 zu 1001 führt.
1000 ist ein Vielfaches von 5, da 1000 = 5 · 200.
Daher ist das größte Vielfache von 5 zwischen 100 und 1001 1000.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
