Beim algebraische Ausdrücke sind diese mathematischen Ausdrücke, die haben Zahlen und Buchstaben, auch als Variablen bekannt. Wir verwenden Buchstaben, um unbekannte Werte darzustellen oder sogar das Verhalten des Ausdrucks entsprechend dem Wert dieser Variablen zu analysieren. Algebraische Ausdrücke sind im Studium der quite Gleichungen und beim Schreiben von Formeln in Mathematik und verwandten Gebieten.
Wenn der algebraische Ausdruck einen einzigen algebraischen Term hat, wird er als Monom; wenn es mehr als eins hat, heißt es Polynom. Es ist auch möglich, algebraische Operationen zu berechnen, das sind die Operationen zwischen algebraischen Ausdrücken.
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Was ist ein algebraischer Ausdruck?
Wir definieren als algebraischen Ausdruck a Ausdruck, der Buchstaben und Zahlen enthält, getrennt durch grundlegende mathematische Operationen, wie Addition und Multiplikation. Algebraische Ausdrücke sind für das fortgeschrittenste Studium der Mathematik von großer Bedeutung, da sie die Berechnung unbekannter Werte in Gleichungen oder sogar das Studium von Funktionen ermöglichen. Schauen wir uns einige Beispiele für algebraische Ausdrücke an:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² +2x - 3
Algebraische Ausdrücke erhalten je nachdem, wie viele algebraische Begriffe sie haben, bestimmte Namen.
Monome
Ein algebraischer Ausdruck wird als Monom bezeichnet, wenn er it nur ein algebraischer Begriff. Ein algebraischer Begriff ist ein Begriff, bei dem Buchstaben und Zahlen nur durch eine Multiplikation voneinander getrennt sind.
Ein Monom ist in zwei Teile unterteilt: o Koeffizient, das ist die Zahl, die den Buchstaben multipliziert, und die wörtlicher Teil, das ist die Variable mit ihrem Exponenten.
Beispiele:
a) 2x³ → Koeffizient gleich 2 und der wörtliche Teil gleich x³.
b) 4ab → Koeffizient gleich 4 und der wörtliche Teil gleich ab.
c) m²n → Koeffizient ist gleich 1 und der wörtliche Teil ist gleich m²n.
Wenn die wörtlichen Teile zweier Monome gleich sind, werden sie als ähnliche Monome bezeichnet.
Beispiele:
a) 2x³ und 4x³ sind ähnlich.
b) 3ab² und -7ab² sind ähnlich.
c) 2mn und 3mn² Nein sind ähnlich.
d) 5y und 5x Nein sind ähnlich.
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Polynome
Wenn der algebraische Ausdruck viele algebraische Terme hat, wird er als Polynom bezeichnet. Ein Polynom ist nichts anderes als das Summe oder Differenz zwischen Monomen. Es ist ziemlich üblich zu verwenden Polynome beim Studium von Gleichungen und Funktionen oder im analytische Geometrie, um die Gleichungen von Elementen der Geometrie zu beschreiben.
Beispiele:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5 Minuten - 3
d) 4y² + x³ – 4x + 8
Vereinfachung algebraischer Ausdrücke
In einem algebraischen Ausdruck bei ähnlichen Begriffen ist es möglich, diesen Ausdruck zu vereinfachen. durch Operationen mit den Koeffizienten ähnlicher Terme.
Beispiel:
5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y
Lassen Sie uns der Einfachheit halber ähnliche Begriffe identifizieren, dh Begriffe, die denselben wörtlichen Teil haben.
5xy²+ 10x– 3xy+ 4x²y – 2x²y² + 5x– 3xy+ 9xy² – 5x²y
Wir werden die Operationen zwischen ähnlichen Begriffen ausführen, dann:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy – 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y
Der Begriff -2x²y² hat keinen ähnlichen Begriff, daher lautet der vereinfachte algebraische Ausdruck:
-2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y
algebraische Operationen
Das Addieren oder Subtrahieren von algebraischen Ausdrücken ist nichts anderes als das Vereinfachen des Ausdrucks, also es ist nur möglich, mit ähnlichen algebraischen Termen zu arbeiten. Bei der Multiplikation ist es jedoch notwendig, die Verteilungseigenschaft zwischen den Termen zu verwenden, wie in den folgenden Beispielen gezeigt:
Zusatzbeispiel:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Da es sich um eine Ergänzung handelt, können wir die Klammern einfach entfernen, ohne die Begriffe zu ändern:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Vereinfachen wir nun den Ausdruck:
5x² +2xy - 3
Subtraktionsbeispiel:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
Um die Klammern zu entfernen, muss das Vorzeichen jedes algebraischen Termes im zweiten Ausdruck invertiert werden:
2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2
Vereinfachen wir nun den Ausdruck:
– x² + 4xy – 7
Multiplikationsbeispiel:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
Unter Anwendung der Verteilungseigenschaft finden wir:
6x4 – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10
Vereinfachen wir nun den Ausdruck:
6x4 + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10
Auch zugreifen: Wie vereinfacht man algebraische Brüche?
Numerischer Wert algebraischer Ausdrücke
Wenn wir den Variablenwert eines algebraischen Ausdrucks kennen, können wir seinen numerischen Wert ermitteln. Der numerische Wert des algebraischen Ausdrucks ist nichts anderes als das Endergebnis, wenn wir die Variable durch einen Wert ersetzen.
Beispiel:
Gegeben den Ausdruck x³ + 4x² + 3x – 5, was ist der numerische Wert des Ausdrucks, wenn x = 2.
Um den Wert des Ausdrucks zu berechnen, ersetzen wir x durch 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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Übungen gelöst
Frage 1 - Der algebraische Ausdruck, der den Umfang des folgenden Rechtecks darstellt, lautet:
A) 5x – 5
B) 10x – 10
C) 5x + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Auflösung
Alternative B.
Um den Umfang zu berechnen, addieren wir die vier Seiten zusammen. Da wir wissen, dass die parallelen Seiten gleich sind, müssen wir:
P = 2(2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x – 8 + 6x – 2
P = 10x – 10
Frage 2 - (Enem 2012) Ein rechteckiges Stofffutter hat auf dem Etikett den Hinweis, dass es nach der ersten Wäsche einläuft, aber seine Form behält. Die folgende Abbildung zeigt die ursprünglichen Deckenmaße und Schrumpfmaße (x) in der Länge und (y) in der Breite. Der algebraische Ausdruck, der den Bereich der Decke nach dem Waschen darstellt, ist (5 – x) (3 – y).
Unter diesen Bedingungen wird der verlorene Bereich des Futters nach dem ersten Waschen ausgedrückt durch:
A) 2xy
B) 15 - 3x
C) 15 - 5 Jahre
D) -5 Jahre – 3x
E) 5y + 3x – xy
Auflösung
Alternative E.
Um die Fläche von a. zu berechnen Rechteck, berechnen wir die Fläche, indem wir das Produkt zwischen der Grundfläche und der Höhe des Rechtecks ermitteln. Wenn wir den fehlenden Teil der Decke analysieren, ist es möglich, ihn in zwei Rechtecke zu unterteilen, aber es gibt einen Bereich, der zu den beiden Rechtecken gehört, also müssen wir die Fläche von diesem Bereich subtrahieren.
Das größte Rechteck hat die Basis 5 und die Höhe y, seine Fläche ist also durch 5y gegeben. Das andere Dreieck hat die Basis x und die Höhe 3, seine Fläche ist also durch 3x gegeben. Der Bereich, der zu den beiden Rechtecken gehört, hat gleichzeitig die Basis x und die Höhe y. Da er also in den beiden Rechtecken gezählt wird, ziehen wir ihn von der Summe der Flächen ab. Somit ist die verlorene Fläche durch den algebraischen Ausdruck gegeben:
5y + 3x - xy
Von Raul Rodrigues Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm