Rationalisierung der Nenner ist die Technik, die verwendet wird, wenn a Fraktion hat eine irrationale Zahl im Nenner und Sie möchten einen zweiten Bruch finden, der dem ersten Bruch entspricht, aber keine irrationale Zahl im Nenner hat. Dazu müssen mathematische Operationen durchgeführt werden, um den Bruch so umzuschreiben, dass er keine ungenaue Wurzel im Nenner hat.
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Wie rationalisiert man Nenner?
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall der Rationalisierung von Nennern und gehen zum komplexesten über, aber die Technik selbst besteht darin, nach a. zu suchen äquivalenter Bruch Multiplizieren von Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zahl, die es ermöglicht, die Wurzel des Nenners des Bruchs zu eliminieren. Sehen Sie unten, wie Sie dies in verschiedenen Situationen tun können.
Rationalisierung bei einer Quadratwurzel im Nenner
Es gibt einige Brüche, die mit dargestellt werden können irrationale Zahlen in den Nennern. Sehen Sie einige Beispiele:
Wenn der Bruchnenner irrational ist, verwenden wir einige Techniken, um ihn in einen rationalen Nenner umzuwandeln, wie zum Beispiel Rationalisierung. wenn es ein gibt Quadratwurzel im Nenner können wir in zwei Fälle aufteilen. Der erste ist wenn der Bruch nur eine Wurzel im Radikal hat.
Beispiel 1:
Um diesen Nenner zu rationalisieren, suchen wir den Bruch, der diesem entspricht, aber keinen irrationalen Nenner hat. Lassen Sie uns dazu Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren — in diesem Fall ist es genau der Nenner des Bruchs, also √3.
Beim Multiplikation von Brüchen, wir multiplizieren gerade. Wir wissen, dass 1 · √3 = √3 ist. Im Nenner gilt 3 ·√3 = √9 = 3. Damit kommen wir zu folgendem:
Wir haben also eine Darstellung des Bruchs, dessen Nenner keine irrationale Zahl ist.
Beispiel 2:
Der zweite Fall ist, wenn a Addition oder Differenz zwischen einer ungenauen Wurzel.
Wenn es im Nenner eine Differenz oder eine Addition von Termen gibt, von denen einer die ungenaue Wurzel ist, wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners. Wir nennen die Konjugierte von √2 – 1 die Inverse der zweiten Zahl, also √2 + 1.
Wenn wir die Multiplikation im Zähler durchführen, müssen wir:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Der Nenner ist der bemerkenswertes Produkt bekannt als Produkt der Summe für die Differenz. Sein Ergebnis ist immer das Quadrat des ersten Termes minus dem Quadrat des zweiten Termes.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Um den Nenner dieses Bruchs zu rationalisieren, müssen wir also:
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Rationalisierung bei einer Indexwurzel von mehr als 2
Sehen Sie sich nun einige Beispiele an, bei denen der Nenner eine Wurzel aus Indizes größer als 2 enthält.
Da das Ziel darin besteht, das Radikal zu eliminieren, multiplizieren wir den Nenner so, dass die Wurzel dieses Nenners gestrichen werden kann.
Beispiel 1:
Um in diesem Fall den Exponenten des Radikals zu eliminieren, lassen Sie uns multiplizieren mit der Kubikwurzel von 2² im Zähler und Nenner, so dass es innerhalb des Radikals 2³ erscheint und somit die Kubikwurzel aufgehoben werden kann.
Bei der Multiplikation müssen wir:
Beispiel 2:
Mit der gleichen Argumentation multiplizieren wir Nenner und Zähler mit einer Zahl, die die Potenz vom Nenner zum Index, das heißt, lassen Sie uns multiplizieren mit der fünften Wurzel von 3 gewürfelt damit Sie den Nenner löschen können.
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Übungen gelöst
Frage 1 – Den Nenner des folgenden Bruchs rationalisierend, finden wir:
A) 1 + √3.
B) 2(1 + √3).
C) – 2(1+ √3).
D) 3.
E) √3 –1.
Auflösung
Alternative C.
Frage 2 - (IFCE 2017 — angepasst) Wenn wir die Werte von √5 und √3 auf die zweite Dezimalstelle annähern, erhalten wir 2,23 bzw. 1,73. Ungefähr beträgt der Wert des folgenden numerischen Ausdrucks bis zur zweiten Dezimalstelle:
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3.96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Auflösung
Alternative E.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
