DAS Finanzmathematik ist einer der für das Studium zuständigen Bereiche der Mathematik Phänomene im Zusammenhang mit der Finanzwelt. Darüber hinaus ist es sehr wichtig, ihre Konzepte zu studieren, da sie in unserem täglichen Leben zunehmend mehr Geschenke, zum Beispiel, wenn wir einen Rabatt beim Barkauf oder ein Extra beim Kauf von etwas erhalten Raten.
Das Studium der Finanzmathematik erfordert Vorkenntnisse in Prozentsatz, werden wir sehen, dass alle Konzepte auf diesem Thema basieren.
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Wozu dient Finanzmathematik?
Finanzmathematik wird täglich verwendet, zum Beispiel, wenn wir einen Barkauf tätigen und der Verkäufer ein Angebot anbietet Rabatt 5% auf den Produktwert oder wenn wir uns für den Kauf eines Produkts in Raten entscheiden und dabei a Zinssatz es wird dem Käufer im Laufe der Zeit in Rechnung gestellt.
Ein Beispiel für die Bedeutung des Verständnisses der Konzepte der Finanzmathematik heißt Überziehungslimit. Bei der Eröffnung eines Kontos bei einer bestimmten Bank wird „zusätzliches“ Geld angeboten, zum Beispiel für Notfälle. Bei Inanspruchnahme dieses Limits oder eines Teils davon wird jedoch zusätzlich zum entnommenen Geld eine später zu zahlende Gebühr erhoben. Dieser Zinssatz wird als Zinsen bezeichnet, und durch ein besseres Verständnis dieser Konzepte können wir eine bessere Strategie für die Verwaltung unserer Finanzen entwickeln.
Beispiel 1
Eine Person braucht 100 Reais, um ihre monatlichen Rechnungen zu bezahlen, aber ihr gesamtes Gehalt wurde bereits für die anderen Rechnungen ausgegeben. Bei der Analyse stellte diese Person fest, dass sie zwei Möglichkeiten hatte.
Option 1 – Verwenden Sie das von der Bank angebotene Überziehungslimit in Höhe von 0,2% pro Tag, das in einem Monat zu zahlen ist.
Option 2 – Holen Sie sich die 100 Reais von einem Freund zu einem Satz von 2% pro Monat, die zwei Monate lang ausgezahlt werden.
Lassen Sie uns nur mit der Kenntnis des Prozentsatzes analysieren, welche die beste Option ist.
analysieren die Option 1, Beachten Sie, dass der Satz von 0,2% pro Tag berechnet wird, d. h., jeden Tag werden 0,2% des Kreditbetrags wie folgt hinzugefügt:
Wie das Darlehen in einem Monat bezahlt werden muss und unter Berücksichtigung des Monats mit 30 Tage, der zu zahlende Zinsbetrag beträgt:
0,2 ·30
6
Daraus können wir schließen, dass der am Ende eines Monats zu zahlende Betrag beträgt:
100 + 6= 106 reais
100 → Von der Bank ausgeliehener Betrag
6 → Zinsbetrag
Analysiere jetzt die Option 2, die erhobene Gebühr beträgt 2% pro Monat und muss innerhalb von zwei Monaten bezahlt werden, d.h. jeden Monat werden 2% des geliehenen Betrags wie folgt auf die Schulden aufgeschlagen:
Beachten Sie, dass 2 Reais pro Monat zum Schuldenbetrag hinzugefügt werden müssen:
2 · 2 = 4
Daher beträgt der am Ende des Zeitraums zu zahlende Betrag:
100+ 4 = 104 Reais
100 → Vom Freund geliehener Betrag
4 → Zinsbetrag
Daraus können wir schließen, dass die beste Option darin besteht, das Geld mit dem Freund zu nehmen. Das ist einfach und wichtig and Anwendung der FinanzmathematikNatürlich gibt es komplexere Probleme, Werkzeuge und Konzepte, aber wie bei allem anderen im Leben ist es notwendig, die Grundlagen zu verstehen, bevor man den komplexen Teil versteht.
Grundlagen der Finanzmathematik
Die wichtigsten Konzepte der Finanzmathematik beinhalten Vorkenntnisse über Prozentsätze. Als nächstes werden wir Konzepte wie Addition, Diskont, einfache Zinsen und Zinseszins sehen.
Zusatz
Die Idee des Zusatzes ist verbunden mit einen Teil des Wertes zu seinem ursprünglichen Wert hinzufügen oder hinzufügen, das heißt, wir addieren einen Prozentsatz eines bestimmten Wertes zu sich selbst. Siehe das Beispiel:
Beispiel 2
Ein Produkt kostete 35 Reais, mit dem Anstieg des Dollars stieg es um 30%. Bestimmen Sie den neuen Wert für dieses Produkt.
Wenn wir die Additionsberechnungen durchführen, werden sie oft falsch ausgeführt, indem wir schreiben:
35 + 30%
Der Prozentsatz stellt einen Teil von etwas dar. Damit dieses Konto korrekt ist, müssen wir zuerst 30% des Anfangswerts berechnen, in diesem Fall 35. So:
35 + 30% von 35
Wenn wir zuerst den Prozentsatz auflösen und dann die Werte zusammenzählen, müssen wir:
Daher beträgt der Wert des Produkts mit der Addition 45,5 Reais (fünfundvierzig Reais und fünfzig Cent).
Im Allgemeinen können wir a. ableiten Formel für die Addition. Betrachten Sie einen x-Wert und dass er um p% ansteigt. Nach dem, was wir gerade definiert haben, können wir diesen Zusatz wie folgt schreiben:
x + p% von x
Um diesen Ausdruck zu entwickeln, müssen wir:
Wiederholen wir Beispiel 2 mit der obigen Formel. Beachten Sie, dass x = 35 und der Anstieg 30 % betrug, d. h. p = 30 %.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Beachten Sie, dass derselbe Wert erhalten wurde und es eine Option ist, eine solche Formel zu verwenden.
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Rabatt
Die Idee des Rabatts ähnelt der Idee des Hinzufügens, der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle des Hinzufügens sollten subtrahieren ein Prozentsatz des ursprünglichen Betrags.
Beispiel 3 – Ein Produkt, das 60 Reais kostet, hat bei Barkauf einen Rabatt von 30%. Bestimmen Sie den neuen Wert für dieses Produkt.
Ähnlich wie bei der Addition müssen wir:
Analog zur Addition können wir a Rabattformel. Betrachten Sie einen Wert x, der einen Abschlag von p% erleidet. Nach unserer Definition können wir diesen Zusatz wie folgt schreiben:
x - p% von x
Um diesen Ausdruck zu entwickeln, müssen wir:
Wiederholen wir Beispiel 3 mit der obigen Formel, beachten Sie, dass x = 60 und der Anstieg 30 % betrug, d. h. p = 30 %.
x · (1 - 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Sehen Sie, dass wir mit der Formel das gleiche Ergebnis erhalten haben, also haben wir im Rabatt auch zwei Optionen, um es zu bestimmen.
einfaches Interesse
Die Idee hinter dem einfaches Interesse es ist auch ähnlich der Idee der Addition, die Differenz zwischen ihnen ergibt sich aus dem Zeitraum, in dem sie berechnet werden. Während der Zuschlagssatz einmal angewendet wird, beträgt der einfache Zinssatz in einem Zeitintervall berechnet. Wir können den einfachen Zins eines gegebenen Kapitals C zu einem gegebenen Zinssatz zu einem einfachen Zinsregime (i) in einem gegebenen Zeitraum t berechnen durch Formel:
J = C · i · t
Der am Ende dieser Investition gezahlte Betrag muss sich aus dem aufgebrachten Geld plus dem Zinsbetrag zusammensetzen und wird Betrag (M) genannt. Der Betrag ergibt sich aus dem Ausdruck:
M = C + J
M = C + C·i·t
M = C (1 + es)
Die einzige Sorge, die wir in Bezug auf Probleme mit einfachem Interesse haben sollten, betrifft die Preis- und Zeiteinheiten, müssen sie immer in gleichen Einheiten sein.
Beispiel 4
Marta will 6000 R$ in ein Unternehmen investieren, das verspricht, im Rahmen eines einfachen Zinssystems einen Gewinn von 20 % pro Jahr zu erwirtschaften. Der von Marta geschlossene Vertrag besagt, dass sie das Geld erst nach sechs Monaten abheben kann, um festzustellen, wie hoch ihr Geld am Ende dieses Zeitraums war.
Betrachten Sie die Aussage und sehen Sie, dass das Kapital gleich 6000 ist, also haben wir C = 6000. Der Zinssatz beträgt 20 % pro Jahr und das Geld wird für sechs Monate angelegt. Beachten Sie, dass der Kurs im Jahr und die Zeit in Monaten angegeben wurde und wir wissen, dass die Maßeinheit für beide gleich sein muss. Lassen Sie uns die monatliche Gebühr ermitteln, siehe:
Wir wissen, dass der Satz 20% pro Jahr beträgt, da ein Jahr 12 Monate hat, also beträgt der monatliche Satz:
20%: 12
1,66% pro Monat
0,016 pro Monat
Wenn wir diese Daten in der Formel ersetzen, müssen wir:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 Reais
Daher beträgt der am Ende der sechs Monate abzuhebende Betrag 576 Reais, und der Betrag beträgt:
M = 6000 + 576
M = 6576 Reais
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Zinseszins
Beim einfachen Zins wird der Zinswert immer auf das Anfangskapital berechnet, die Differenz zwischen dieser beiden Systeme (einfacher und Zinseszins) genau an diesem Punkt, d. h. in der Art und Weise, wie der Zinssatz ist berechnet. Im Zinseszins, der Zinssatz wird immer auf den Kapitalbetrag des Vormonats berechnet, dadurch steigt der Wert der Zinsen exponentiell. DAS Formel zur Berechnung der Zinsen im Zinseszins-Amortisationssystem ergibt sich aus:
M = C · (1 + i)t
Auf was M ist der kumulierte Betrag, Ç ist der Wert des Anfangskapitals, ich ist der Zinssatz in Prozent, und t ist der Zeitraum, in dem das Kapital in das System investiert wurde. Wie beim einfachen Zins müssen auch beim Zinseszinssystem Zins und Zeit in derselben Einheit sein.
Beispiel 5
Berechnen Sie den Betrag, den Marta am Ende der sechs Monate einziehen würde, indem Sie ihre 6000 Reais zu einem Zinssatz von 20% pro Jahr im Zinseszinssystem anwenden.
(Angegeben: 1,20,5 ≈ 1,095)
Beachten Sie, dass die Daten die gleichen wie in Beispiel 4 sind, also müssen wir:
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 Jahre
Wenn wir die Daten in der Zinseszinsformel ersetzen, müssen wir:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1.095
M = 6572,67 Reais
Daher beträgt der von Marta im einfachen Zinssystem abzuhebende Betrag 6572,67 Reais. Beachten Sie, dass der Betrag im Zinseszinssystem größer ist als im einfachen Zinssystem, und dies ist in allen Fällen der Fall. Um besser zu verstehen, wie dieser Preis berechnet wird, besuchen Sie: Gebühren çGegenteilSie.
gelöste Übungen
Frage 1 – (FGV – SP) Ein auf einfache Zinsen angewendetes Kapital in Höhe von 2,5% pro Monat verdreifacht sich um:
a) 75 Monate
b) 80 Monate
c) 85 Monate
d) 90 Monate
e) 95 Monate
Auflösung
Alternative B.
Wir müssen den Zeitpunkt finden, an dem die Zinsen 2C betragen, da wir mit den Zinsen auf diese Weise zusammen mit dem anfänglich eingesetzten Kapital von C den Betrag von 3C (das Dreifache des Kapitals) haben. So:
J = 2C; C=C; i = 2,5% pro Monat; t = ?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Somit beträgt die Zeit für die Verdreifachung dieses Kapitals 80 Monate.
Hinweis: 80 Monate entsprechen 6,6 Jahren.
Frage 2 – Ein Rohstoff wurde nach einem Anstieg von 24% auf 1041,60 Reais preisgegeben. Bestimmen Sie die Menge vor der Zugabe.
Auflösung
Mit der allgemeinen Additionsformel können wir den Warenwert vor der Addition ermitteln.
x · (1 + 0,01p)
In der Formel ist der Wert x das Gesuchte und p der Wert der Addition, und dieser Ausdruck gibt uns den Wert des Produkts nach der Addition, also:
1041,60 = x · (1 + 0,01p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Sehen Sie, dass wir eine Gleichung ersten Grades haben, um sie zu lösen, müssen wir das Unbekannte x isolieren, indem wir beide Seiten der Gleichheit durch 1,24 teilen, oder einfach die 1,24-Teilung übergeben. So:
Daher betrug der Warenwert vor der Hinzufügung 840 Reais.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm