Ö Umfang des Quadrats ist das Gesamtmaß der Kontur dieser Figur. Es stellt die Summe der Seiten des Quadrats dar, die, da sie alle gleich sind, dem Vierfachen des Maßes einer der Seiten entspricht. Aus der Messung des Durchmessers oder der Fläche des Quadrats lässt sich das Maß seiner Seite und damit das Maß seines Umfangs ermitteln.
Wenn ein Quadrat in einen Kreis eingeschrieben ist, ist es möglich, die Seitenlänge des Quadrats durch Messen des Kreisradius zu ermitteln.
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Zusammenfassung über den Umfang des Platzes
- Der Umfang des Quadrats ist die Summe der Maße seiner vier Seiten.
- Einseitiges Quadrat Der hat einen Umfang gegeben durch \(P=4a\).
- Die Diagonale eines Seitenquadrats Der Es ist gegeben durch \(d=a\sqrt2\).
- Die Fläche eines Quadrats Der wird berechnet durch \(A=a^2\).
- Seitenmaß Der eines Quadrats, das in einen Kreis mit Radius eingeschrieben ist R wird durch die Beziehung gefunden \(R=\frac{a\sqrt2}{2}\).
Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats?
Der Umfang des Quadrats ist das Maß der Kontur dieser Figur, das heißt, er ist die Summe der Maße seiner SeitenS. Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, ist es daher notwendig, die Abmessung einer seiner Seiten zu kennen.
Stellen Sie sich ein Quadrat mit einer Seitenlänge vor Der. Da seine Seiten das gleiche Maß haben, ist der Umfang dieses Quadrats gleich:
\(\mathbf{Umfang \des\Quadrats}=a+a+a+a=4\cdot a\)
Beispiel:
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats, dessen Seitenlänge beträgt? 5cm?
\(Umfang\ des Quadrats=5+5+5+5=4\cdot 5=20 cm\)
So rechnen Sie mit unbekannten Seiten
Es gibt Situationen, in denen die Seitenmessung eines Quadrats nicht bekannt ist. In diesen Fällen können andere Informationen über das Quadrat verwendet werden, um die Größe seiner Seite zu bestimmen und schließlich Berechnen Sie Ihren Umfang.
Die beiden häufigsten Informationen zur Seite eines Quadrats sind die Fläche und die Diagonale dieser Figur. Ein Quadrat mit Seitenmaß Der Es hat folgende Flächen- und Diagonalmaße:
Beispiel:
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats, dessen Diagonale misst? \(4\sqrt2\ cm\)?
Die Diagonale D eines Seitenquadrats Der hat das folgende Diagonalmaß:
\(Diagonale\ des Quadrats: d=a\sqrt2\)
Daher ein Quadrat, dessen Diagonale misst \(4\sqrt2\ cm\) Es hat folgende Seitenmaße:
\(a\sqrt2=4\sqrt2\ cm\)
\(a=4\ cm\)
Somit ist der Umfang dieses Quadrats gegeben durch:
\(Umfang\ des Quadrats=4\cdot a=4\cdot 4 cm=16 cm\)
Eine andere Möglichkeit, das Maß der Seiten eines Quadrats und anschließend seines Umfangs zu ermitteln, besteht darin, die Fläche dieser Figur zu messen.
Fläche des Platzes
Die Fläche des Quadrats bezieht sich auf die Region, die von dieser Figur eingenommen wird. Um dieses Maß zu ermitteln, müssen Sie das Seitenmaß des Quadrats quadrieren.
Also ein Quadrat mit einer Seitenlänge Der hat folgenden Bereich:
\(Fläche\ des Quadrats=(Seite)^2=a^2\)
Beispiel:
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats, dessen Fläche misst? 4cM2?
Wie man sieht, ist die Fläche eines Quadrats gleich dem Quadrat seiner Seite. Wenn also ein Quadrat eine Seitenlänge hat Der, Dann:
\(a^2=4\ cm^2\ \)
\(a=\pm\sqrt{4\ cm^2}\)
\(a=\pm2\ cm\)
Da die Seitenlänge des Quadrats nicht negativ sein kann, hat dieses Quadrat die Seitenlänge a=2 cm. Daher ist der Umfang dieses Quadrats gegeben durch:
\(Umfang\ des Quadrats=4\cdot a=4\cdot 2 cm=8 cm\)
Wie berechnet man den Umfang des in einen Kreis eingeschriebenen Quadrats?
Es kann Situationen geben, in denen ein Quadrat eingeschrieben ist in einem Kreis. In diesem Fall ist es mit der Information über den Radius des Kreises möglich, die Maße der Seite des Quadrats zu ermitteln und so seinen Umfang zu berechnen.
Wenn ein Quadrat in einen Kreis eingeschrieben ist, ist der Mittelpunkt der beiden Bilder derselbe. So was, Der Radius des Kreises ist halb so groß wie die Diagonale des Quadrats.
\(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)
Daher der Radius R des Umfangs und der Seite Der eines darin eingeschriebenen Quadrats erfüllen die Beziehung:
\(R=\frac{a\sqrt2}{2}\)
Beispiel:
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats, das in einen Kreis eingeschrieben ist, dessen Radius misst? \(3\sqrt2\ cm\)?
Erstens liegt durch den Radius des Kreises die Seite des Quadrats:
\(R=\frac{a\sqrt2}{2}\)
\(3\sqrt2=\frac{a\sqrt2}{2}\)
\(2\cdot3\sqrt2=a\sqrt2\)
\(\frac{6\sqrt2}{\sqrt2}=a\)
\(a=6\ cm\)
Somit ist der Umfang dieses Quadrats eine Seite 6 cm es ist das gleiche wie
\(Umfang\ des Quadrats=4\cdot a=4\cdot 6 cm=24 cm\)
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Gelöste Übungen am Rand des Platzes
Frage 1
Ein Bauer wird ein quadratisches Stück Land umzäunen. Er weiß, dass er es braucht 9 m Draht, um nur eine Seite des Landes einzuzäunen. Wie viele Meter Draht benötigt er, um das gesamte Grundstück zu umgeben, wobei dieses Maß den Umfang des Grundstücks darstellt?
a) 9 m
b) 18 m
c) 27 m
d) 36 m
Auflösung
Zu wissen, dass eine Seite des Landes das Äquivalent von 9 misst MUm den Umfang des gesamten quadratischen Grundstücks zu umgeben, benötigen Sie:
\(Umfang\ des\ Geländes\ Quadrat=4\cdot9 m=36 m\)
Daher ist es notwendig 36 m aus Draht.
Die richtige Alternative ist Alternative d).
Frage 2
Eine Lehrerin forderte ihre Schüler auf, ein Quadrat zu zeichnen 100 cM2 der Fläche. Wie groß sollte der Umfang des von den Schülern gezeichneten Quadrats sein?
a) 10 cm
b) 25 cm
c) 40 cm
d) 100 cm
Auflösung
Wenn Sie die Fläche des Quadrats kennen, können Sie die Länge seiner Seite ermitteln. Der durch die Beziehung:
\(a^2=100\ cm^2\ \)
\(a=\pm\sqrt{100\ cm^2}\)
\(a=\pm10\ cm\)
Da das Seitenmaß des Quadrats positiv sein muss, muss auch die Seite des Quadrats gemessen werden 10cm .
Daher ist der Umfang dieses Quadrats gleich
\(Umfang\ des Landes\ Quadrat=4\cdot10 cm=40 cm\)
Die richtige Alternative ist Option c).
Quellen:
REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. In. Flache euklidische Geometrie: und geometrische Konstruktionen. 2. Aufl. Campinas: Unicamp, 2008.
SAMPAIO, Fausto Arnaud. Mathematiklehrpfade, 7. Jahr: Grundschule, Abschlussjahre. 1. Hrsg. São Paulo: Saraiva, 2018.
