Ö Volumen der Kugelwird anhand der Messung seines Radius berechnet. Eine Kugel ist eine geometrische Form mit drei Dimensionen. Die Hauptelemente einer Kugel sind ihr Radius und ihr Durchmesser. Das Volumen der Kugel wird anhand einer speziellen Formel berechnet, die im Folgenden vorgestellt wird. Zusätzlich zum Volumen können wir die Oberfläche der Kugel berechnen.
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Zusammenfassung des Kugelvolumens
- Mehrere Gegenstände unseres täglichen Lebens haben eine Kugelform, beispielsweise ein Fußball.
- Die Hauptelemente der Kugel sind ihr Radius und ihr Durchmesser.
- Um das Volumen der Kugel zu berechnen, verwenden wir die Formel:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Es gibt noch weitere wichtige Formeln, beispielsweise die Formel für die Fläche einer Kugel: \(A=4\pi r^2\).
Videolektion zum Thema Kugelvolumen
Was ist eine Kugel?
Eine Kugel ist eine einzelne dreidimensionale Form, definiert als eine dreidimensionale Figur, deren Punkte gleich weit von ihrem Mittelpunkt entfernt sind
. Es ist eine der symmetrischsten Formen und in unserer Welt auf vielfältige Weise präsent. Wir können die Präsenz der Sphäre in der Natur, im menschlichen Körper, beim Studium der Planeten und in anderen Situationen unseres täglichen Lebens wahrnehmen.
Eine Sphäre ist ein geometrischer Körper. Beispiele für Kugeln sind der Billard-, Fußball- und Basketballball. Es besteht aus allen Punkten, die einen konstanten Abstand von einem zentralen Punkt, dem Mittelpunkt der Kugel, haben. Und dieser konstante Abstand wird als Kugelradius bezeichnet.
Kugelelemente
Die Kugel hat einige interessante Teile:
- Center: Wie der Name schon sagt, ist es der Punkt, der sich im Zentrum der Kugel befindet.
- Durchmesser: gerades Liniensegment, das zwei gegenüberliegende Punkte auf der Kugel verbindet und durch die Mitte verläuft.
- Strahl: Segment, das von der Mitte zu einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche verläuft.
- Oberfläche: äußere Schicht der Kugel.
- Innen: Raum innerhalb der Kugel.
Wie berechnet man das Volumen der Kugel?
Das Volumen der Kugel wird berechnet nach der Formel:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: ist das Volumen der Kugel.
- A: ist der Radius der Kugel.
- π: ist eine Konstante.
Ökonstanter Wert πam häufigsten wird etwa 3,14 verwendet, aber wir können darüber nachdenken π gleich ungefähr 3 oder ungefähr 3,1 oder sogar ungefähr 3,1415, je nachdem, wie viele Dezimalstellen wir berücksichtigen möchten, da die π ist eine irrationale Zahl, und irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen.
- Beispiel:
Eine Kugel hat einen Radius von 6 cm. Wie groß ist das Volumen dieser Kugel, wenn man das bedenkt? π=3?
Auflösung:
Wenn wir das Volumen der Kugel berechnen, erhalten wir:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Das Volumen dieser Kugel beträgt also 864 cm³.
Eine weitere Kugelformel
Neben der vorgestellten Formel zur Berechnung des Kugelvolumens gibt es noch eine weitere wichtige Formel, nämlich die Oberflächenformel. Um die Oberfläche der Kugel zu berechnen, lautet die Formel:
\(A=4\pi r^2\)
A Die Oberfläche der Kugel ist nichts anderes als der Bereich, der die Kugel umgibt. Bei einem Kunststoffball beispielsweise ist die Kugel der gesamte Ball und die Oberfläche der Bereich des Kunststoffs, der die Kontur dieses Balls darstellt.
- Beispiel:
Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit einem Radius von 5 cm?
Auflösung:
Als Wert von π, wir werden es durch keinen Wert ersetzen, also:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Die Fläche dieser Kugel beträgt In 100πcM2.
Mehr wissen: Was ist der Unterschied zwischen Umfang, Kreis und Kugel?
Übungen zum Kugelvolumen gelöst
Frage 1
Ein kugelförmiges Objekt hat einen Radius von 6 cm. Dann wird das Volumen dieses Objekts (unter Verwendung von π=3,14) ist ungefähr gleich:
A) 314,42 cm³
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm³
D) 602,38 cm³
E) 904,32 cm³
Auflösung:
Alternative E
Einsetzen der in der Anweisung angegebenen Werte in die Formel \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), wir haben:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\about288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
Frage 2
Ein Behälter hat eine Kugelform. Es ist bekannt, dass es Volumen hat In 288π cm³. Wenn wir sein Volumen kennen, können wir dann sagen, dass der Radius dieses Behälters wie folgt gemessen wird:
A) 3 cm
B) 4cm
C) 5cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Auflösung:
Alternative D
Wir wissen das \(V=288\pi\).
Einsetzen der in der Anweisung angegebenen Werte in die Formel \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), wir haben \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Aufheben des π auf beiden Seiten und Kreuzmultiplizieren:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Quellen
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Grundlagen der Elementarmathematik: Raumgeometrie, Bd. 10, 6. Hrsg. São Paulo: Aktuell, 2005.
LIMA, E. et. al. Mathematik am Gymnasium. Band 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
