A Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, die in geordneter Weise organisiert sind. Die Zahlenfolge kann nach verschiedenen Kriterien zusammengesetzt werden – zum Beispiel die Folge gerader Zahlen oder die Folge von Vielfachen von 3. Wenn wir dieses Kriterium mit einer Formel beschreiben können, nennen wir diese Formel das Bildungsgesetz der Zahlenfolge.
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Zusammenfassung zur Zahlenfolge
Die Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen, die in der richtigen Reihenfolge angeordnet sind.
Die Zahlenfolge kann unterschiedlichen Kriterien folgen.
Das Gesetz des Auftretens einer Zahlenfolge ist die Liste der Elemente, die in der Folge vorhanden sind.
Die Sequenz kann auf zwei Arten klassifiziert werden. Einer berücksichtigt die Anzahl der Elemente, der andere das Verhalten.
Was die Anzahl der Elemente betrifft, kann die Folge endlich oder unendlich sein.
Was das Verhalten betrifft, kann die Sequenz ansteigend, konstant, abnehmend oder oszillierend sein.
Wenn die Zahlenfolge durch eine Gleichung beschrieben werden kann, wird diese Gleichung als Bildungsgesetz der Zahlenfolge bezeichnet.
Was sind Sequenzen?
Die Sequenzen sind Mengen von Elementen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. In unserem täglichen Leben können wir mehrere Situationen wahrnehmen, die Abfolgen beinhalten:
Reihenfolge der Monate: Januar, Februar, März, April,..., Dezember.
Jahresfolge der ersten 5 Weltmeisterschaften des 21. Jahrhunderts: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Es gibt mehrere andere mögliche Reihenfolgen, beispielsweise die Namensfolge oder die Altersfolge. Immer wenn es eine festgelegte Ordnung gibt, gibt es eine Reihenfolge.
Jedes Element einer Sequenz wird als Term der Sequenz bezeichnet. In einer Sequenz gibt es also den ersten Term, den zweiten Term usw. Allgemein, Eine Sequenz kann dargestellt werden durch:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(bis 1\) → der erste Begriff.
\(a_2\) → der zweite Begriff.
\(a_3\) → der dritte Begriff.
\(ein\) → irgendein Begriff.
Gesetz des Auftretens der Zahlenfolge
Wir können Sequenzen aus verschiedenen Elementen haben, wie zum Beispiel Monaten, Namen, Wochentagen und anderen. AFolge ist eine Zahlenfolge, wenn es sich um Zahlen handelt. Wir können die Folge von geraden Zahlen, ungeraden Zahlen bilden, Primzahlen, Vielfache von 5 usw.
Die Folge wird durch ein Auftretensgesetz dargestellt. Das Gesetz des Auftretens ist nichts anderes als die Liste der Elemente der Zahlenfolge.
Beispiele:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → Folge ungerader Zahlen von 1 bis 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → Folge von Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → abwechselnde Reihenfolge zwischen 1 und -1.
Wie ist die Klassifizierung der Zahlenfolge?
Wir können Sequenzen auf zwei verschiedene Arten klassifizieren. Einer davon berücksichtigt die Anzahl der Elemente, der andere das Verhalten dieser Elemente.
→ Einteilung der Zahlenfolge nach der Anzahl der Elemente
Wenn wir die Folge nach der Anzahl der Elemente klassifizieren, gibt es zwei mögliche Klassifizierungen: die endliche Folge und die unendliche Folge.
◦ Endliche Zahlenfolge
Eine Folge ist endlich, wenn sie eine begrenzte Anzahl von Elementen hat.
Beispiele:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Unendliche Zahlenfolge
Eine Folge ist unendlich, wenn sie eine unbegrenzte Anzahl von Elementen hat.
Beispiele:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klassifizierung der Zahlenfolge nach dem Verhalten der Folge
Die andere Möglichkeit zur Klassifizierung ist das Sequenzverhalten. Dabei kann die Folge ansteigend, konstant, oszillierend oder fallend sein.
◦ Aufsteigende Zahlenfolge
Die Folge ist aufsteigend, wenn ein Term immer größer als sein Vorgänger ist.
Beispiele:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Konstante Zahlenfolge
Die Folge ist konstant, wenn alle Terme den gleichen Wert haben.
Beispiele:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Absteigende Zahlenfolge
Die Folge ist absteigend, wenn die Terme in der Folge immer kleiner sind als ihre Vorgänger.
Beispiele:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oszillierende Zahlenfolge
Die Sequenz oszilliert, wenn abwechselnd Terme größer als ihre Vorgänger und Terme kleiner als ihre Vorgänger vorhanden sind.
Beispiele:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Gesetz zur Bildung der Zahlenfolge
In manchen Fällen ist es möglich, den Ablauf durch eine Formel zu beschreiben, allerdings ist dies nicht immer möglich. Beispielsweise ist die Folge der Primzahlen eine wohldefinierte Folge, wir können sie jedoch nicht mit einer Formel beschreiben. Da wir die Formel kannten, konnten wir das Gesetz des Auftretens der Zahlenfolge konstruieren.
Beispiel 1:
Folge gerader Zahlen größer Null.
\(a_n=2n\)
Beachten Sie dies beim Austausch N für eine natürliche Zahl (1, 2, 3, 4, ...) finden wir eine gerade Zahl:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Wir haben also eine Formel, die die Terme der Folge generiert, die aus geraden Zahlen größer als Null besteht:
(2, 4, 6, 8, ...)
Beispiel 2:
Folge natürlicher Zahlen größer als 4.
\(a_n=4+n\)
Wenn wir die Terme der Folge berechnen, haben wir:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Das Gesetz des Geschehens schreiben:
(5, 6, 7, 8,…)
Auch sehen: Arithmetische Folge – ein Sonderfall der Zahlenfolge
Aufgaben zur Zahlenfolge gelöst
Frage 1
Eine Zahlenfolge hat ein Bildungsgesetz gleich \(a_n=n^2+1\). Wenn wir diese Folge analysieren, können wir feststellen, dass der Wert des 5. Termes der Folge sein wird:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Auflösung:
Alternative E
Wenn wir den Wert des 5. Termes der Folge berechnen, erhalten wir:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Frage 2
Analysieren Sie die folgenden Zahlenfolgen:
ICH. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Wir können feststellen, dass die Sequenzen I, II und III wie folgt klassifiziert werden:
A) ansteigend, oszillierend und abnehmend.
B) abnehmend, zunehmend und oszillierend.
C) oszillierend, konstant und ansteigend.
D) abnehmend, oszillierend und konstant.
E) oszillierend, abnehmend und zunehmend.
Auflösung:
Alternative C
Bei der Analyse der Sequenzen können wir Folgendes feststellen:
ICH. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Es ist oszillierend, da es Terme gibt, die größer sind als ihre Vorgänger, und Terme, die kleiner sind als ihre Vorgänger.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Sie ist konstant, da die Folgenglieder immer gleich sind.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Sie nimmt zu, da die Laufzeiten immer größer sind als ihre Vorgänger.