A Verwurzelung Es handelt sich um eine mathematische Operation, genau wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung. Ebenso wie die Subtraktion die Umkehroperation der Addition und die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist, ist die Radikation die Umkehroperation der Potenzierung. Wenn also x, erhöht auf n, gleich y ist, können wir für reelle positive x und y und eine ganze Zahl n (größer oder gleich 2) sagen, dass die n-te Wurzel von y gleich x ist. In mathematischer Notation: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Lesen Sie auch:Potenzierung und Radizierung von Brüchen – wie geht das?
Zusammenfassung zum Rooten
Rootifizierung ist eine mathematische Operation.
Strahlung und Potenzierung sind umgekehrte Operationen, d. h. für positives x und y gilt \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Die n-te Wurzel einer Zahl y zu berechnen bedeutet, die Zahl x zu finden, sodass x, erhöht auf n, gleich y ist.
Das Lesen einer Wurzel hängt vom Index n ab. Wenn n = 2, nennen wir es die Quadratwurzel, und wenn n = 3, nennen wir es die Kubikwurzel.
Bei Operationen mit Radikalen verwenden wir Begriffe mit demselben Index.
Strahlung hat wichtige Eigenschaften, die ihre Berechnung erleichtern.
Videolektion zum Rooten
Darstellung einer Wurzel
Um eine Verwurzelung darzustellen, Wir müssen die drei beteiligten Elemente berücksichtigen: Radikand, Index und Wurzel. Das Symbol \(√\) heißt Radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
In diesem Beispiel, y ist der Radikand, n ist der Index und x ist die Wurzel. Es lautet „n-te Wurzel von y ist x“. Während x und y positive reelle Zahlen darstellen, stellt n eine ganze Zahl dar, die gleich oder größer als 2 ist. Es ist wichtig zu beachten, dass für n = 2 der Index weggelassen werden kann. Also zum Beispiel \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Wir können eine Strahlung darstellen, indem wir den Radikanden mit einem gebrochenen Exponenten verwenden. Formal sagen wir, dass die n-te Wurzel von \(y^m\) kann als y auf den gebrochenen Exponenten erhöht geschrieben werden \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Sehen Sie sich die Beispiele an:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Unterschiede zwischen Strahlung und Potenzierung
Potenzierung und Bestrahlung sind inverse mathematische Operationen. Das bedeutet, wenn \(x^n=y\), Dann \(\sqrt[n]{y}=x\). Es scheint schwierig? Schauen wir uns einige Beispiele an.
Wenn \(3^2=9\), Dann \(\sqrt[2]{9}=3\).
Wenn \(2^3=8\), Dann \(\sqrt[3]{8}=2\).
Wenn \(5^4=625\), Dann \(\sqrt[4]{625}=5\).
Wie liest man eine Wurzel?
Um eine Wurzel zu lesen, Wir müssen den Index berücksichtigen N. Wenn n = 2, wir nennen es die Quadratwurzel. Wenn n = 3, nennen wir es die Kubikwurzel. Für Werte von N größer, verwenden wir die Nomenklatur für Ordnungszahlen: vierte Wurzel (wenn n = 4), fünfte Wurzel (wenn n = 5) und so weiter. Sehen Sie sich einige Beispiele an:
\(\sqrt[2]{9}\) – Quadratwurzel aus 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – Kubikwurzel aus 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – vierte Wurzel von 625.
Wie berechnet man die Wurzel einer Zahl?
Im Folgenden erfahren Sie, wie Sie die Wurzel einer positiven reellen Zahl berechnen. Um die Wurzel einer Zahl zu berechnen, müssen wir die zugehörige Umkehroperation berücksichtigen. Das heißt, wenn wir nach der n-ten Wurzel einer Zahl y suchen, müssen wir nach einer Zahl x suchen, so dass \(x^n=y\).
Abhängig vom Wert von y (also dem Radikanden) kann dieser Prozess einfach oder mühsam sein. Schauen wir uns einige Beispiele an, wie man die Wurzel einer Zahl berechnet.
Beispiel 1:
Was ist die Quadratwurzel von 144?
Auflösung:
Nennen wir die gesuchte Zahl x, also \(\sqrt{144}=x\). Beachten Sie, dass dies bedeutet, dass nach einer Zahl x gesucht werden muss \(x^2=144\). Testen wir einige Möglichkeiten mit natürlichen Zahlen:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Daher, \(\sqrt{144}=12\).
Beispiel 2:
Was ist die Kubikwurzel von 100?
Auflösung:
Nennen wir die gesuchte Zahl x, also \(\sqrt[3]{100}=x\). Das bedeutet, dass \(x^3=100\). Lassen Sie uns einige Möglichkeiten testen:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Beachten Sie, dass wir nach einer Zahl suchen, die zwischen 4 und 5 liegt \(4^3=64\) Es ist \(5^3=125\). Testen wir also einige Möglichkeiten mit Zahlen zwischen 4 und 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Als \(4,6^3 \) eine Zahl nahe und kleiner als 100 ist, können wir sagen, dass 4,6 eine Annäherung an die Kubikwurzel von 100 ist. Daher, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Wichtig:Wenn die Wurzel eine rationale Zahl ist, sagen wir, dass die Wurzel exakt ist; andernfalls ist die Wurzel nicht exakt. Im obigen Beispiel ermitteln wir einen Bereich zwischen genauen Wurzeln, in denen die gesuchte Wurzel gefunden wird:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Diese Strategie ist sehr nützlich für die Berechnung von Näherungen einer Wurzel.
Operationen mit Radikalen
Bei Operationen mit Radikalen verwenden wir Begriffe mit demselben Index. Lesen Sie daher die folgenden Informationen sorgfältig durch.
→ Addition und Subtraktion zwischen Radikalen
Um eine Addition oder Subtraktion zwischen Radikalen zu lösen, müssen wir die Wurzel jedes Radikals separat berechnen.
Beispiele:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Wichtig: Es ist nicht möglich, Radikale in Additions- und Subtraktionsoperationen zu betreiben. Beachten Sie, dass zum Beispiel die Bedienung \(\sqrt4+\sqrt9\) ergibt eine unterschiedliche Anzahl von \(\sqrt{13}\), selbst wenn \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Multiplikation und Division zwischen Radikalen
Um eine Multiplikation oder Division zwischen Radikalen zu lösen, können wir die Wurzel jedes Radikals separat berechnen, aber wir können auch die Strahlungseigenschaften verwenden, die wir weiter unten sehen werden.
Beispiele:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Welche Eigenschaften hat Strahlung?
→ Eigenschaft 1 der Strahlung
Wenn y eine positive Zahl ist, dann ist die n-te Wurzel von \(y^n\) ist gleich y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Siehe das Beispiel:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Diese Eigenschaft wird häufig zur Vereinfachung von Ausdrücken mit Radikalen verwendet.
→ Eigenschaft 2 der Strahlung
Die n-te Wurzel des Produkts \(y⋅z\) ist gleich dem Produkt der n-ten Wurzeln von y und z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Siehe das Beispiel:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Wichtig: Wenn wir die Wurzel einer großen Zahl berechnen, ist dies sehr nützlich Faktorisieren (zerlegen) Sie den Radikanden in Primzahlen und wenden Sie die Eigenschaften 1 und 2 an. Sehen Sie sich das folgende Beispiel an, in dem wir rechnen wollen \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
So was,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Eigenschaft 3des Rootens
Die n-te Wurzel des Quotienten \(\frac{y}z\), mit \(z≠0\), ist gleich dem Quotienten der n-ten Wurzeln von y und z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Siehe das Beispiel:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Eigenschaft 4 der Strahlung
Die n-te Wurzel von y, erhöht auf einen Exponenten m, ist gleich der n-ten Wurzel von \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Siehe das Beispiel:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Auch sehen: Welche Eigenschaften hat die Potenzierung?
Gelöste Übungen zur Strahlung
Frage 1
(FGV) Vereinfachen \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), du erhältst:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Auflösung:
Alternative C.
Beachten Sie, dass wir unter Verwendung der Strahlungseigenschaften Folgendes haben:
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Somit können wir den Ausdruck der Aussage umschreiben als
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Den Begriff setzen \(\sqrt3\) Beweise, daraus schließen wir
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Frage 2
(Cefet) Mit welcher Zahl sollten wir die Zahl 0,75 multiplizieren, sodass die Quadratwurzel des erhaltenen Produkts gleich 45 ist?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Auflösung:
Alternative A.
Die gesuchte Zahl ist x. So heißt es in der Aussage:
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Daher,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
