Wir wissen wie Polynom ein Ausdruck, der die algebraische Summe von Monomen angibt, die nicht ähnlich sind, d. h. Polynom ist einer Algebraischer Ausdruck zwischen Monomen. Monomium ist ein algebraischer Begriff, der einen Koeffizienten und einen wörtlichen Teil hat.
Bei ähnlichen Termen zwischen den Polynomen ist es möglich, die Kürzung seiner Bedingungen bei der Addition und oder Subtraktion von zwei Polynomen. Es ist auch möglich, zwei Polynome durch die Verteilungseigenschaft zu multiplizieren. Die Division erfolgt nach der Schlüsselmethode.
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Was sind Monome?
Um zu verstehen, was ein Polynom ist, ist es wichtig, zuerst die Bedeutung eines Monoms zu verstehen. Ein algebraischer Ausdruck wird als Monom bezeichnet, wenn er it Zahlen und Buchstaben und ihre Exponenten nur durch Multiplikation getrennt. Die Zahl wird als Koeffizient bezeichnet, und die Buchstaben und ihre Exponenten werden als wörtlicher Teil bezeichnet.
Beispiele:
2x² → 2 ist der Koeffizient; x² ist der wörtliche Teil.
√5ax → √5 ist der Koeffizient; Axt ist der wörtliche Teil.
b³yz² → 1 ist der Koeffizient; b³yz² ist der wörtliche Teil.
Was ist ein Polynom?
Ein Polynom ist nichts anderes als das algebraische Summe von Monomen, das heißt, sie sind mehr Monome, die durch Addition oder Subtraktion voneinander getrennt sind.
Beispiele:
ax² + um + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
Im Allgemeinen kann ein Polynom mehrere Terme haben, es wird algebraisch dargestellt durch:
DasNeinxNein + die(n-1) x(n-1) + … + die2x² + a1x + a
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Grad eines Polynoms
Um den Grad des Polynoms zu bestimmen, teilen wir es in zwei Fälle auf, wenn es eine einzelne Variable hat und wenn es mehrere Variablen hat. Der Grad des Polynoms ist gegeben durch Grad des größten seiner Monome in beiden Fällen.
Es ist durchaus üblich, mit einem Polynom zu arbeiten, das nur eine Variable hat. Wenn das passiert, Ö größeres Monom Grad was den Grad angibt des Polynoms gleich dem größten Exponenten der Variablen:
Beispiele:
Einzelvariable Polynome
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → Beachten Sie, dass die Variable x ist und der größte Exponent, den sie hat, 3 ist, also ist dies ein Polynom 3. Grades.
b) 2 Jahre5 + 4y² – 2y + 8 → die Variable ist y und der größte Exponent ist 5, also ist dies ein Polynom vom Grad 5.
Wenn das Polynom mehr als eine Variable in einem Monom hat, um den Grad dieses Termes zu finden, ist es notwendig hinzufügen-wenn der Grad der Exponenten jeder der Variablen. Somit ist der Grad des Polynoms in diesem Fall immer noch gleich dem Grad des größten Monoms, aber es ist notwendig, die Exponenten der Variablen jedes Monoms zu addieren.
Beispiele:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Wenn wir den wörtlichen Teil jedes Begriffs analysieren, müssen wir:
xy → Grad 2 (1 + 1)
x²y³ → Grad 5 (2 + 3)
y³ → Klasse 3
Beachten Sie, dass der größte Term den Grad 5 hat, also ein Polynom vom Grad 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analysieren des wörtlichen Teils jedes Monomiums:
a²b → Note 3 (2 + 1)
ab² → Grad 2 (1 + 1)
a²b² → Note 4 (2 + 2)
Das Polynom hat also den Grad 4.
Hinzufügen von Polynomen
Zum Addition zwischen zwei Polynomen, lass uns das durchführen Reduzierung ähnlicher Monome. Zwei Monome sind ähnlich, wenn sie gleiche wörtliche Teile haben. In diesem Fall ist es möglich, das Polynom zu vereinfachen.
Beispiel:
Seien P(x) = 2x² + 4x + 3 und Q(x) = 4x² – 2x + 4. Finden Sie den Wert von P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Suche nach ähnlichen Begriffen (die die gleichen wörtlichen Teile haben):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Jetzt fügen wir die ähnlichen Monome hinzu:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomsubtraktion
Die Subtraktion unterscheidet sich nicht wesentlich von der Addition. Das wichtige Detail ist das Zuerst müssen wir das entgegengesetzte Polynom schreiben bevor wir die Vereinfachung ähnlicher Begriffe vornehmen.
Beispiel:
Daten: P(x) = 2x² + 4x + 3 und Q(x) = 4x² - 2x + 4. Berechnen Sie P(x) – Q(x).
Das Polynom -Q(x) ist das Gegenteil von Q(x). Um das Gegenteil von Q(x) zu finden, kehren Sie einfach das Vorzeichen jedes seiner Terme um, also müssen wir:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Dann berechnen wir:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Um ähnliche Begriffe zu vereinfachen, haben wir:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Polynommultiplikation
Um die Multiplikation zweier Polynome durchzuführen, verwenden wir das bekannte Verteilungseigenschaft zwischen den beiden Polynomen, die Multiplikation der Monome des ersten Polynoms mit denen des zweiten.
Beispiel:
Seien P(x) = 2a² + b und Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Berechnen Sie P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Wenden wir die Verteilungseigenschaft an, erhalten wir:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Nun, wenn sie existieren, können wir ähnliche Begriffe vereinfachen:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Beachten Sie, dass die einzigen ähnlichen Monome orange hervorgehoben sind. Vereinfachend haben wir das folgende Polynom als Antwort:
2.5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
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Polynomdivision
führe die Division von Polynomen kann ziemlich mühsam sein, wir verwenden das sogenannte Schlüsselmethode, aber dafür gibt es mehrere Methoden. Die Division zweier Polynome es ist nur möglich, wenn der Teilergrad kleiner ist. Indem wir das Polynom P(x) durch das Polynom D(x) dividieren, suchen wir ein Polynom Q(x), so dass:
Somit gilt nach dem Divisionsalgorithmus: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → Dividende
D(x) → Teiler
Q(x) → Quotient
R(x) → Rest
Bei der Division ist das Polynom P(x) durch das Polynom D(x) teilbar, wenn der Rest null ist.
Beispiel:
Arbeiten wir, indem wir das Polynom P(x) = 15x² +11x + 2 durch das Polynom D(x) = 3x + 1 dividieren.
Wir möchten teilen:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. Schritt: wir teilen das erste Monom des Dividenden mit dem ersten des Divisors:
15x²: 3x = 5x
2. Schritt: wir multiplizieren 5x · (3x+1) = 15x² + 5x und subtrahieren das Ergebnis von P(x). Um die Subtraktion durchzuführen, müssen die Vorzeichen des Multiplikationsergebnisses invertiert werden, um das Polynom zu finden:
3. Schritt: führen wir die Division des ersten Termes des Subtraktionsergebnisses durch den ersten Term des Divisors durch:
6x: 3x = 2
4. Schritt: also haben wir (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Daher müssen wir:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
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Übungen gelöst
Frage 1 - Wie groß muss m sein, damit das Polynom P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m den Grad 2 hat?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Auflösung
Alternative A
Damit P(x) den Grad 2 hat, muss der Koeffizient von x³ gleich Null sein und der Koeffizient von x² muss sich von Null unterscheiden.
Also werden wir tun:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
Andererseits gilt m + 3 ≠ 0.
Also m ≠ -3.
Somit haben wir als Lösung der ersten Gleichung m = 3 oder m= -3, aber für die zweite gilt m ≠ -3, also ist die einzige Lösung, die P(x) den Grad 2 hat, ist: m = 3.
Frage 2 - (IFMA 2017) Der Umfang der Figur kann durch das Polynom geschrieben werden:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Auflösung
Alternative D
Aus dem Bild wissen wir, wenn wir die gegebene Länge und Breite analysieren, dass der Umfang die Summe aller Seiten ist. Da Länge und Höhe gleich sind, multiplizieren wir einfach die Summe der gegebenen Polynome mit 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer