Summe und Produkt Es handelt sich um eine Methode, um die Lösungen von a zu finden Gleichung. Wir verwenden die Summe und das Produkt als Methode zur Berechnung der Wurzeln von a Gleichung 2. Grades, vom Typ ax² + bx + c = 0.
Dies ist eine interessante Methode, wenn die Lösungen der Gleichung sind ganze Zahlen. In Fällen, in denen die Lösungen keine ganzen Zahlen sind, kann es ziemlich kompliziert sein, die Summe und das Produkt zu verwenden und andere, einfachere Methoden zum Finden der Lösungen der Gleichung zu verwenden.
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Zusammenfassung über Summe und Produkt
- Die Summe und das Produkt sind eine der Methoden, um die Lösungen einer vollständigen quadratischen Gleichung zu finden.
- Durch Summe und Produkt erhalten wir bei gegebener Gleichung 2. Grades ax² + bx + c = 0:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 Es ist X2 sind die Lösungen der quadratischen Gleichung.
- a, b und c sind die Koeffizienten der Gleichung 2. Grades.
Was ist Summe und Produkt?
Die Summe und das Produkt sind eine der Methoden, mit denen wir die Lösungen einer Gleichung finden können. In Gleichungen 2. Grades können Summe und Produkt eine praktischere Methode sein, um die Lösungen zu finden Gleichung, weil sie darin besteht, nach den Zahlen zu suchen, die die Summen- und Produktformel für eine gegebene Gleichung erfüllen Gleichung.
Summen- und Produktformel
In einer quadratischen Gleichung vom Typ ax² + bx + c = 0, mit Lösungen gleich x1 und x2Nach Summe und Produkt ergibt sich:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Wie berechnet man Wurzeln aus Summe und Produkt?
Um die Lösungen zu finden, suchen wir zunächst nach den ganzen Zahlen, deren Produkt gleich ist \(\frac{c}{a}\).
Wir wissen, dass die Lösungen der Gleichung positiv oder negativ sein können:
- Positives Produkt und positive Summe: beide Wurzeln sind positiv.
- Positives Produkt und negative Summe: beide Wurzeln sind negativ.
- Negatives Produkt und positive Summe: Eine Wurzel ist positiv und die andere negativ, und die mit dem größten Modul ist positiv.
- Negatives Produkt und negative Summe: Eine Wurzel ist positiv und die andere negativ, und die mit dem größten Modul ist negativ.
Nachdem wir später alle Produkte aufgelistet haben, die die Gleichung erfüllen, analysieren wir, welches die Gleichung erfüllt. Gleichung der Summe, das heißt, was sind die beiden Zahlen, die die Gleichung aus Produkt und Summe erfüllen? gleichzeitig.
Beispiel 1:
Finden Sie die Lösungen der Gleichung:
\(x²-5x+6=0\)
Zunächst ersetzen wir in die Summen- und Produktformel. Wir haben, dass a = 1, b = -5 und c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Da Summe und Produkt positiv sind, sind auch die Wurzeln positiv. Bei der Analyse des Produkts wissen wir Folgendes:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nun prüfen wir, welches dieser Ergebnisse eine Summe von 5 hat, was in diesem Fall ist:
\(2+3=5\)
Die Lösungen dieser Gleichung lauten also \(x_1=2\ und\ x_2=3\).
Beispiel 2:
Finden Sie die Lösungen der Gleichung:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Zuerst ersetzen wir in die Summen- und Produktformel. Wir haben a = 1, b = 2 und c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Da Summe und Produkt negativ sind, haben die Wurzeln entgegengesetzte Vorzeichen und diejenige mit dem größten Modul ist negativ. Bei der Analyse des Produkts wissen wir Folgendes:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Schauen wir uns nun an, welches dieser Ergebnisse eine Summe hat, die gleich ist -2, was in diesem Fall ist:
\(4+\left(-6\right)=-2\)
Die Lösungen dieser Gleichung lauten also \(x_1=4\ und\ x_2=-6\) .
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Aufgaben zu Summe und Produkt gelöst
Frage 1
Sei j Es ist z die Wurzeln von Gleichung 4X2-3X-1=0, der Wert von 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Auflösung:
Alternative A
Berechnen nach Summe und Produkt:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Also müssen wir:
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ Rechts)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=75\)
Frage 2
Betrachtet man die Gleichung 2X2 + 8x + 6 = 0, sei S die Summe der Wurzeln dieser Gleichung und P das Produkt der Wurzeln der Gleichung, dann ist der Wert der Operation (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Auflösung:
Alternative B
Berechnen nach Summe und Produkt:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Also müssen wir:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien-Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
