Übungen zu Proportionalsegmenten

Wenn das Verhältnis zweier Liniensegmente gleich dem Verhältnis zweier anderer Segmente ist, werden sie aufgerufen proportionale Segmente.

A Grund zwischen zwei Segmenten erhält man, indem man die Länge des einen durch die andere dividiert.

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Somit sind vier proportionale Liniensegmente mit Längen gegeben Der, B, w Es ist D, in dieser Reihenfolge haben wir a Anteil:

\dpi{120} \mathbf{\frac{a}{b} \frac{c}{d}}

Und aufgrund der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen haben wir das \dpi{120} \mathbf{ ad cb}.

Weitere Informationen finden Sie unter a Liste der Übungen zu proportionalen Segmenten, alle Fragen geklärt!

Übungen zu Proportionalsegmenten


Frage 1. Die Segmente \dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH} sind in dieser Reihenfolge proportionale Segmente. Bestimmen Sie das Maß von \dpi{120} \overline{CD} wissend, dass \dpi{120} \overline{AB} 5, \dpi{120} \overline{EF} 7,5 Es ist \dpi{120} \overline{GH} 13,8.


Frage 2. bestimmen \dpi{120} \overline{BC} wissend, dass \dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} \frac{\overline{BC}}{4} ist das:

Liniensegment

Frage 3. bestimmen \dpi{120} \overline{AB} wissend, dass \dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} \frac{\overline{BC}}{5} ist das:

Liniensegment

Frage 4. Bestimmen Sie die Längen der Seiten eines Dreiecks mit einem Umfang von 52 Einheiten, dessen Seiten proportional zu den Seiten eines anderen Dreiecks mit den Längen 2, 6 und 5 sind.


Lösung von Frage 1

Wenn die Segmente \dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH} sind in dieser Reihenfolge proportionale Segmente, dann:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} \frac{\overline{EF}}{\overline{GH}}

ersetzen \dpi{120} \overline{AB} 5, \dpi{120} \overline{EF} 7,5 Es ist \dpi{120} \overline{GH} 13,8, Wir müssen:

\dpi{120} \frac{5}{\overline{CD}} \frac{7,5}{13,8}

Anwendung der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen:

\dpi{120} \Rightarrow 7,5 \cdot \overline{CD} 69
\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} \frac{69}{7.5}
\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} 9.2

Lösung von Frage 2

Wir haben:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} \frac{\overline{BC}}{4}

ersetzen \dpi{120} \overline{AB} 11, Wir müssen:

\dpi{120} \frac{11}{7} \frac{\overline{BC}}{4}

Anwendung der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen:

\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} 44
\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} \frac{44}{7}
\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} \ca. 6,28

Lösung von Frage 3

Wir haben:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} \frac{\overline{BC}}{5}

Als \dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} 21, Dann, \dpi{120} \overline{AB} 21 - \overline{BC}. Wenn wir den obigen Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

\dpi{120} \frac{21-\overline{BC}}{2} \frac{\overline{BC}}{5}

Anwendung der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen:

\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} 5(21- \overline{BC})
\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} 105- 5\overline{BC}
\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} 105
\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} \frac{105}{7}
\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} 15

Bald \dpi{120} \overline{AB} 21 - \overline{BC} 21 - 15 6.

Lösung von Frage 4

Wenn wir eine repräsentative Zeichnung machen, können wir das sehen \dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} 52.

ähnliche Dreiecke

Da die Seiten der Dreiecke proportional sind, gilt:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} \frac{\overline{BC}}{6} \frac{\overline{AC}}{5} r

Sein \dpi{120} r das Verhältnis der Verhältnismäßigkeit.

Wenn die Seiten außerdem proportional sind, beträgt ihre Summe, d. h. die Umfänge, auch:

\dpi{120} \frac{\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} }{2 + 6 + 5} r
\dpi{120} \Rightarrow \frac{52 }{13} r
\dpi{120} \Rightarrow r 4

Aus dem Verhältnis der Proportionalität und den bekannten Seiten erhalten wir die Maße der Seiten des anderen Dreiecks:

\dpi{120} \overline{AB} r\cdot \overline{A'B'} 4\cdot 2 8
\dpi{120} \overline{BC} r\cdot \overline{B'C'} 4\cdot 6 24
\dpi{120} \overline{AC} r\cdot \overline{A'C'} 4\cdot 5 20

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