Progressionen: was sie sind, Typen, Formeln, Beispiele

Wir wissen wie Fortschritte besondere Fälle von Zahlenfolgen. Es gibt zwei Fälle von Progressionen:

• arithmetische Progression

• geometrischer Verlauf

Um eine Progression zu sein, müssen wir die Merkmale der Sequenz analysieren, um festzustellen, ob es einen Grund gibt, den wir nennen. wenn der Fortschritt ist Arithmetik, der Grund ist nichts anderes als eine Konstante, die wir einem Term hinzufügen, um seinen Nachfolger in der Folge zu finden; jetzt, wenn man mit einer Progression arbeitet geometrisch, hat die Vernunft eine ähnliche Funktion, nur ist in diesem Fall die Vernunft der konstante Term, mit dem wir einen Term in der Folge multiplizieren, um seinen Nachfolger zu finden.

Durch vorhersehbares Verhalten einer Progression gibt es spezielle Formeln, um jeden Begriff in diesen Sequenzen zu finden, und es ist auch möglich, a. zu entwickeln Formel für jeden von ihnen (d. h. eine für die arithmetische Folge und eine für die geometrische Folge), um die Summe zu berechnen VonNein ersten Terme dieser Entwicklung.

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Die Bohnenmenge pro Ernte verhält sich wie eine geometrische Progression

Zahlenfolge

Um zu verstehen, was Progressionen sind, müssen wir zuerst verstehen, was sie sind Zahlenfolgen. Wie der Name schon sagt, kennen wir die Zahlenfolge a Reihe von Zahlen, die eine Reihenfolge respektieren, ob sie gut definiert sind oder nicht. nicht so wie Sätze Zahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, in einer Zahlenfolge ist die Reihenfolge wichtig, zum Beispiel:

Die Folge (1, 2, 3, 4, 5) unterscheidet sich von (5, 4, 3, 2, 1), die sich von der Folge (1, 5, 4, 3, 2) unterscheidet. Auch wenn die Elemente gleich sind, da die Reihenfolge unterschiedlich ist, haben wir unterschiedliche Sequenzen.

Beispiele:

Wir können Sequenzen schreiben, deren Formationen leicht zu erkennen sind:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → Folge von geraden Zahlen kleiner oder gleich 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regressive Folge ungerader Zahlen von 17 bis 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → bekannt als Fibonacci-Folge.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → Obwohl es nicht möglich ist, diese Folge wie die anderen zu beschreiben, ist es leicht vorherzusagen, was ihre nächsten Terme sein werden.

In anderen Fällen, die Sequenzen können in ihren Werten totale Zufälligkeit habenWie auch immer, um eine Sequenz zu sein, ist es wichtig, eine Menge geordneter Werte zu haben.

bis 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

So sehr es nicht möglich ist, vorherzusagen, wer die nächsten Begriffe im Buchstaben b sind, arbeiten wir noch an einer Fortsetzung.

Im Allgemeinen, Strings werden immer in Klammern ( ) dargestellt. auf die folgende Weise:

(Das₁, ein₂,Das₃, ein₄,Das₅, ein₆, ein₇, ein₈ …) → unendliche Folge

(Das₁, ein₂,Das₃, ein₄,Das₅, ein₆, ein₇, ein₈ … ein_Nein) → endliche Folge

In beiden haben wir folgende Darstellung:

Das₁ → erster Begriff

Das₂ → zweiter Begriff

Das₃ → dritter Begriff

.

.

.

Das_Nein → n-ter Begriff

Überwachung: Es ist von großer Bedeutung, dass bei der Darstellung einer Sequenz die Daten in Klammern eingeschlossen sind. Sequenznotation wird oft mit Mengennotation verwechselt. Eine Menge wird in geschweiften Klammern dargestellt, und in der Menge ist die Reihenfolge nicht wichtig, was in diesem Fall den Unterschied macht.

(1, 2, 3, 4, 5) → Sequenz

{1, 2, 3, 4, 5} → einstellen

Es gibt bestimmte Fälle von Sequenzen, die als Progressionen bezeichnet werden.

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Was sind Progressionen?

Eine Sequenz wird als Progression definiert, wenn sie a Regelmäßigkeit von einem Begriff zum anderen, bekannt als Grund. Es gibt zwei Fälle von Progression, arithmetische Progression und geometrische Progression. Um zu wissen, wie man jeden von ihnen unterscheiden kann, müssen wir verstehen, was der Grund für eine Progression ist und wie dieser Grund mit den Begriffen der Sequenz interagiert.

Wenn ich von einem Term zum anderen in der Sequenz a konstante Summe, diese Folge wird als Progression definiert und ist in diesem Fall a arithmetische Progression. Diesen Wert, den wir ständig aufsummieren, nennen wir das Verhältnis. Der andere Fall, d. h. wenn die Folge a. ist geometrischer Verlauf, von einem Begriff zum anderen gibt es a Multiplikation mit einem konstanten Wert. Analog ist dieser Wert das Verhältnis des geometrischen Verlaufs.

Beispiele:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → Beachten Sie, dass wir immer 3 von einem Term zum anderen addieren, also haben wir eine arithmetische Progression von ratio gleich 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → in diesem Fall multiplizieren wir immer mit 10 von einem Term zum anderen und haben es mit einer geometrischen Progression des Verhältnisses 10 zu tun.

c) (0, 2, 8, 26 …) → im letzteren Fall gibt es nur eine Sequenz. Um den nächsten Term zu finden, multiplizieren wir den Term mit 3 und addieren 2. Obwohl es eine Regelmäßigkeit gibt, die nächsten Terme zu finden, handelt es sich in diesem Fall nur um eine Folge, nicht um eine arithmetische oder geometrische Folge.

arithmetische Progression

Wenn wir mit Zahlenfolgen arbeiten, sind die Folgen, in denen wir ihre nächsten Terme vorhersagen können, ziemlich wiederkehrende. Damit diese Folge als a. klassifiziert werden kann arithmetische Progression, da muss ein sein Grund ein. Vom ersten Term ist der nächste Term gebildet aus der Summe des vorherigen Termes mit dem Grund r.

Beispiele:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Dies ist eine Sequenz, die als arithmetische Progression klassifiziert werden kann, weil der Grund r = 3 und der erste Term ist 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Diese Folge ist aus gutem Grund eine arithmetische Folge. r = -5, und sein erster Term ist 7.

• Bedingungen einer PA

In vielen Fällen besteht unser Interesse darin, einen bestimmten Begriff in der Progression zu finden, ohne die gesamte Sequenz schreiben zu müssen. Wenn man den Wert des ersten Termes und das Verhältnis kennt, ist es möglich, den Wert jedes Termes in einer arithmetischen Folge zu finden. Um die Terme einer arimetischen Progression zu finden, verwenden wir die Formel:

Das_Nein = die₁+ (n - 1)r

Beispiel:

Finden Sie den 25. Term eines P.A, dessen Verhältnis 3 und der erste Term 12 ist.

Daten r = 3, die₁ = 12. Wir wollen den 25. Term finden, also n = 25.

Das_Nein = die₁+ (n - 1)r

Das₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

Das₂₅ = 12 + 24 · 3

Das₂₅ = 12 + 72

Das₂₅ = 84

• Allgemeine Laufzeit einer P.A.

Die allgemeine Begriffsformel ist a Möglichkeit, die Formel eines AP-Terms zu vereinfachen um einen Progressionsterm schneller zu finden. Sobald der erste Term und der Grund bekannt sind, genügt es, in der Formel einen Term eines P.A. einzusetzen, um den allgemeinen Term der arithmetischen Folge zu finden, der nur vom Wert von. abhängt Nein.

Beispiel:

Finden Sie den allgemeinen Term einer P.A. mit r = 3 und die₁ = 2.

Das_Nein = 2 + (n-1) r

Das_Nein = 2 + (n -1) 3

Das_Nein = 2 + 3n – 3

Das_Nein = 2n - 1

Dies ist der allgemeine Begriff einer P.A., der dazu dient, einen beliebigen Begriff in dieser Progression zu finden.

• Summe der Terme einer PA

DAS Summe der Terme einer PA es wäre ziemlich mühsam, jeden seiner Terme zu finden und zu addieren. Es gibt eine Formel zur Berechnung der Summe aller Nein erste Terme einer arithmetischen Folge:

Beispiel:

Finde die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 100.

Wir wissen, dass ungerade Zahlen eine arithmetische Folge des Verhältnisses 2: (1, 3, 5, 7…99) sind. In dieser Folge gibt es 50 Terme, da von 1 bis 100 die Hälfte der Zahlen gerade und die andere Hälfte ungerade ist.

Daher müssen wir:

n = 50

Das₁ = 1

Das_Nein = 99

Auch zugreifen: Funktion 1. Grades - praktische Anwendung der arithmetischen Progression

Geometrischer Verlauf

Eine Zeichenfolge kann auch klassifiziert werden als prOgression geometrisch (PG). Damit eine Folge eine geometrische Folge ist, muss sie einen Grund haben, aber in diesem Fall führen wir, um den nächsten Term aus dem ersten Term zu finden, die Multiplikation des Verhältnisses mit dem vorherigen Term.

Beispiele:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Geometrischer Verlauf des Verhältnisses 2, und sein erster Term ist 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Geometrischer Verlauf des Verhältnisses 10, und sein erster Term ist 20.

• Laufzeit eines PG

In einer geometrischen Abfolge stellen wir den Grund für den Buchstaben dar Was. Der Begriff einer geometrischen Progression kann durch die Formel gefunden werden:

Das_Nein = die₁ · Was^{n - 1}

Beispiel:

Finden Sie den 10. Term eines PG, wissend, dass Was = 2 und die₁ = 5.

Das_Nein = die₁ · Was^{n - 1}

Das₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

Das₁₀ = 5 · 2⁹

Das₁₀ = 5 · 512

Das₁₀ = 2560

• Allgemeine Bezeichnung einer PG

Wenn wir den ersten Term und den Grund kennen, ist es möglich, die allgemeine Termformel aus einer geometrischen Folge zu generieren, die ausschließlich vom Wert von. abhängt Nein. Dazu müssen wir nur den ersten Term und das Verhältnis ersetzen, und wir finden eine Gleichung, die nur vom Wert von. abhängt Nein.

Im vorherigen Beispiel, in dem das Verhältnis 2 und der erste Term 5 ist, lautet der allgemeine Term für diesen GP:

Das_Nein = die₁ · Was^{n - 1}

Das_Nein = 5 · 2^{n - 1}

• Summe der Terme eines PG

Das Hinzufügen aller Bedingungen einer Progression wäre eine Menge Arbeit. In vielen Fällen ist es zeitaufwändig, die gesamte Sequenz zu schreiben, um diese Summe zu erreichen. Um diese Berechnung zu erleichtern, hat der geometrische Verlauf eine Formel, die dazu dient, die die Summe von Nein erste Elemente eines endlichen PG:

Beispiel:

Finden Sie die Summe der ersten 10 Terme des GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 …).

Beachten Sie, dass das Verhältnis dieses PG gleich 2 ist.

Das₁ = 1

Was = 2

Nein = 10

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gelöste Übungen

Frage 1 - Eine bestimmte Bakterienkultur wird von Wissenschaftlern einige Tage lang beobachtet. Einer von ihnen analysiert das Wachstum dieser Population und stellte fest, dass es am ersten Tag 100 Bakterien gab; im zweiten 300 Bakterien; im dritten 900 Bakterien und so weiter. Wenn wir diese Sequenz analysieren, können wir sagen, dass sie ist:

A) eine arithmetische Folge des Verhältnisses 200.

B) ein geometrischer Verlauf des Verhältnisses 200.

C) eine arimetische Folge der Vernunft 3.

D) ein geometrischer Verlauf des Verhältnisses 3.

E) eine Sequenz, aber keine Progression.

Auflösung

Alternative D.

Wenn wir die Sequenz analysieren, haben wir die Terme:

Beachten Sie, dass 900/300 = 3 sowie 300/100 = 3. Daher arbeiten wir mit einem PG des Verhältnisses 3, da wir aus dem ersten Term mit drei multiplizieren.

Frage 2 - (Enem – PPL) Für einen Laufanfänger wurde folgender Trainingsplan festgelegt: 300 Meter am ersten Tag laufen und ab dem zweiten Tag 200 Meter steigern. Um seine Leistung zu zählen, wird er mit einem Chip, der an seinem Sneaker befestigt ist, die im Training zurückgelegte Distanz messen. Bedenken Sie, dass dieser Chip maximal 9,5 km Laufen/Gehen in seinem Speicher speichert und zu Beginn des Trainings platziert und nach Erschöpfung des Speicherplatzes für die Datenreserve entsorgt werden muss. Wenn dieser Athlet den Chip vom ersten Trainingstag an verwendet, wie viele aufeinanderfolgende Tage kann dieser Chip die Laufleistung dieses täglichen Trainingsplans speichern?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Auflösung

Alternative B.

Wenn wir die Situation analysieren, wissen wir, dass wir eine PA mit einem Grund von 200 und einem anfänglichen Ende von 300 haben.

Außerdem wissen wir, dass die Summe S_Nein = 9,5 km = 9500 Meter.

Mit diesen Daten suchen wir den Begriff a_Nein, das ist die Anzahl der am letzten Tag der Speicherung aufgezeichneten Kilometer.

Es sei auch daran erinnert, dass jeder Begriff a_Nein kann geschrieben werden als:

Das_Nein = die₁ + (n - 1)r

Mit der Gleichung 200n² + 400n – 19000 = 0 können wir alle Terme durch 200 teilen, die Gleichung vereinfachen und finden: n² + 2n – 95 = 0.

Für Delta und Bhaskara müssen wir:

a = 1

b = 2

c = -95

= b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Wir wissen, dass 8,75 8 Tagen und einigen Stunden entspricht. In diesem Fall beträgt die Anzahl der Tage, in denen die Messung durchgeführt werden kann, 8.

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm