Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form erleichtern die Berechnung mit den Elementen dieser Menge. Multiplikation und Division von Komplexen in trigonometrischer Form erfolgen fast sofort, während der Prozess in algebraischer Form mehr Berechnungen erfordert. Die Potenzierung und Radizierung von Komplexen in trigonometrischer Form wird auch durch die Verwendung von Moivres Formeln erleichtert. Sehen wir uns an, wie das Rooten dieser Zahlen durchgeführt wird:
Betrachten Sie eine beliebige komplexe Zahl z = a + bi. Die trigonometrische Form von z ist:
Die n-Indexwurzeln von z sind durch die zweite Moivre-Formel gegeben:
Beispiel 1. Finde die Quadratwurzeln von 2i.
Lösung: Zuerst müssen wir die komplexe Zahl in trigonometrischer Form schreiben.
Die gesamte komplexe Zahl hat die Form z = a + bi. Wir müssen also:
Das wissen wir auch:
Mit den Sinus- und Cosinuswerten können wir folgendes schließen:
Somit lautet die trigonometrische Form von z = 2i:
Berechnen wir nun die Quadratwurzeln von z mit der Moivre-Formel.
Da wir die Quadratwurzeln von z wollen, erhalten wir zwei verschiedene Wurzeln z0 und z1.
Für k = 0 haben wir
Für k = 1 haben wir:
Oder
Beispiel 2. Erhalten Sie die Kubikwurzeln von z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Lösung: Da die komplexe Zahl bereits in trigonometrischer Form vorliegt, verwenden Sie einfach die Formel von Moivre. Aus der Aussage folgt ø = π und |z| = 1. So,
Wir haben drei verschiedene Wurzeln, z0, z1 und z2.
Für k = 0
Für k = 1
Oder z1 = – 1, da cos π = – 1 und sin π = 0.
Für k = 2
Von Marcelo Rigonatto
Spezialist für Statistik und mathematische Modellierung
Brasilianisches Schulteam
Komplexe Zahlen - Mathematik - Brasilien Schule
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm