Factorial: Was ist das, wie man es löst, Vereinfachung

berechne das Fakultät einer Zahl macht nur Sinn, wenn wir mit natürlichen Zahlen arbeiten. Diese Operation ist ziemlich häufig in kombinatorische Analyse, was die Berechnung von Anordnungen, Permutationen, Kombinationen und anderen Zählproblemen erleichtert. Die Fakultät ist durch das Symbol „!“ dargestellt. Wir definieren es als n! (n faktoriell) zu Multiplikation von n mit all seinen Vorgängern bis du zum 1. Nein! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.

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Was ist faktoriell?

Factorial ist eine sehr wichtige Operation für das Studium und die Entwicklung der kombinatorischen Analyse. In der Mathematik ist die Zahl gefolgt von der Ausrufezeichen (!) ist als faktoriell bekannt, zum Beispiel x! (x faktoriell).

Wir wissen als Fakultät von a natürliche Zahl Das Multiplizieren dieser Zahl mit ihren Vorgängern außer Null, d.h.:

Nein! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1

Es ist bemerkenswert, dass, damit diese Operation sinnvoll ist,

n ist eine natürliche Zahld.h. wir berechnen keine Fakultät einer negativen Zahl, auch nicht einer Dezimalzahl, oder von Brüchen.

Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist die Multiplikation von n mit ihren Vorgängern.

faktorielle Berechnung

Um die Fakultät einer Zahl zu finden, berechnen Sie einfach das Produkt. Beachten Sie auch, dass die Fakultät eine Operation ist, die, wenn Erhöhen Sie den Wert von n, das Ergebnis wird auch stark ansteigen.

Beispiele:

• 4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24

• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120

• 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

• 7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Per Definition haben wir:

0! = 1
1! = 1

Faktorielle Operationen

Um faktorielle Operationen zu lösen, ist es wichtig, darauf zu achten, keine Fehler zu machen. Wenn wir zwei Fakultäten addieren, subtrahieren oder multiplizieren, müssen wir jede von ihnen separat berechnen. Nur die Division hat konkrete Möglichkeiten, Vereinfachungen vorzunehmen. Machen Sie nicht den Fehler, die Operation durchzuführen und die Fakultät beizubehalten, entweder zur Addition und Subtraktion oder zur Multiplikation.

• 2! + 3! ≠ 5!

• 4! · 2! ≠ 12!

• 7! – 5! ≠ 2!

Wenn wir eine dieser Operationen lösen, müssen wir jede der Fakultäten berechnen.

Beispiele:

a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8

b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.

c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.

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Faktorielle Vereinfachung

Aufteilungen sind recht häufig. In Formeln von Kombination, Anordnung und Permutation mit Wiederholung, werden wir immer auf Vereinfachungen zurückgreifen, um faktorielle Probleme zu lösen. Dazu folgen wir ein paar Schritten.

Beispiel:

1. Schritt: Identifizieren Sie die größte der Fakultäten – in diesem Fall ist es 8. Wenn wir nun den Nenner analysieren, der 5 ist, schreiben wir die Multiplikation von 8 mit seinen Vorgängern, bis wir 5!

Die Fakultät einer Zahl n, also n!, kann umgeschrieben werden als Multiplikation von n mit k!. So,

Nein! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, schreiben wir also 8 um! wie die Multiplikation von 8 auf 5!.

8! = 8 · 7 · 6 · 5!

Also schreiben wir den Grund um:

2. Schritt: nach dem umschreiben Grund, ist es möglich, den Zähler mit dem Nenner zu vereinfachen, da 5! es steht sowohl im Zähler als auch im Nenner. Führen Sie nach der Vereinfachung einfach die Multiplikation durch.

Beispiel 2:

Kombinatorische und Faktorenanalyse

Bei der Durchführung der weitere Studie in der kombinatorischen Analysis, die Fakultät einer Zahl wird immer erscheinen. Die wichtigsten Gruppierungen in der kombinatorischen Analysis, die Permutation, Kombination und Anordnung sind, verwenden die Fakultät einer Zahl in ihren Formeln.

• Permutation

DAS Permutation und der alle Elemente einer Menge neu anordnen. Um eine Permutation zu berechnen, greifen wir auf die Fakultät zurück, da die Permutation von n Elementen berechnet wird durch:

P_Nein = n!

Beispiel:

Wie viele Anagramme können wir mit dem Namen HEITOR bauen?

Dies ist ein typisches Permutationsproblem. Da der Name aus 6 Buchstaben besteht, berechnen Sie zur Berechnung der Anzahl der möglichen Anagramme einfach P₆.

P₆ = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Auch zugreifen: Permutation mit wiederholten Elementen: Wie kann man es lösen?

• Arrangements

Berechnung Absprachen es erfordert auch die Beherrschung der Fakultät einer Zahl. Anordnung ist wie die Permutation die Bildung einer Neuordnung. Der Unterschied ist, im Arrangement bestellen wir einen Teil des Sets nachd.h. wir wollen wissen, wie viele mögliche Umordnungen wir bilden können, wenn wir eine Menge k von eins wählen einstellen mit n Elementen.

Beispiel:

In einem Unternehmen gibt es 6 Kandidaten für die Leitung der Institution, und zwei werden für die Positionen des Direktors und des stellvertretenden Direktors ausgewählt. In dem Wissen, dass sie durch Abstimmung gewählt werden, wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?

In diesem Fall berechnen wir die Anordnung von 6 aus 2 zu 2, da es 6 Kandidaten für zwei offene Stellen gibt.

• Kombination

Bei der Kombination ist es wie bei den anderen notwendig, die Fakultät einer Zahl zu beherrschen. Wir definieren als Kombination Sie Teilmengen einer Menge. Der Unterschied besteht darin, dass in der Kombination keine Nachbestellung stattfindet, denn die reihenfolge ist nicht wichtig. Wir berechnen also, wie viele Teilmengen mit k Elementen wir in einer Menge von n Elementen bilden können.

Beispiel:

Zur Vertretung der Klasse wird ein Komitee von 3 Schülern gewählt. Wie viele Ausschüsse können gebildet werden, wenn man weiß, dass es 5 Kandidaten gibt?

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Übungen gelöst

Frage 1 - Beurteilen Sie über die Fakultät einer Zahl die folgenden Aussagen.

ICH). 0! + 1! = 2

II). 5! - 3! = 2!

III) 2! · 4! = 8

A) Nur ich bin wahr.

B) Nur II ist wahr.

C) Nur III ist wahr.

D) Nur I und II sind wahr.

E) Nur II und II sind wahr.

Auflösung
Alternative A.

Ich) Richtig.

0! = 1

1! = 1

0! + 1! = 1+1 = 2

II) Falsch.

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120

3! = 3 · 2 · 1 = 6

5! – 3! = 120 – 6 = 114

III) Falsch.

2! = 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24

Frage 2 - (UFF) Entspricht das Produkt 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2?

A) 20:2

B) 2·10!

C) 20:2¹⁰

D) 2¹⁰· 10!

E) 20!: 10!

Auflösung

Alternative D.

Betrachtet man das Produkt aller geraden Zahlen von 2 bis 20, so wissen wir:

20 = 2 · 10

18 = 2 · 9

16 = 2 · 8

14 = 2 · 7

12 = 2 · 6

10 = 2 · 5

8 = 2 · 4

6 = 2 · 3

4 = 2 · 2

2 = 2 · 1

Also können wir umschreiben als 2¹⁰ · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 2¹⁰ · 10!

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer