Sie komplexe Zahlen entstehen aus der Notwendigkeit zu lösen Gleichungen die haben negative Zahl Wurzel, die bis dahin nicht mit reellen Zahlen gelöst werden konnte. Komplexe Zahlen lassen sich auf drei Arten darstellen: a algebraische Form (z = a + bi), bestehend aus einem Realteil Das und ein Imaginärteil B; Das Geometrische Form, dargestellt in der komplexen Ebene, die auch als Argand-Gauss-Ebene bekannt ist; und Ihre trigonometrische Form, auch Polarform genannt. Aufgrund ihrer Darstellung haben komplexe Zahlen, da wir mit einer numerischen Menge arbeiten, wohldefinierte Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung.
Durch die geometrische Darstellung in der komplexen Ebene definieren wir auch den Modul (dargestellt durch |z|) einer komplexen Zahl – das ist der Abstand vom Punkt, der die komplexe Zahl darstellt, vom Ursprung – und was ist das Argument von a komplexe Zahl – das ist der Winkel zwischen der horizontalen Achse und der Spur, die den Ursprung mit dem Punkt verbindet, der die Zahl repräsentiert Komplex.
Bedarf an komplexen Zahlen
In der Mathematik war die Erweiterung einer numerischen Menge zu einer neuen Menge im Laufe der Geschichte durchaus üblich. Es stellt sich heraus, dass sich im Laufe dessen die Mathematik entwickelt hat und dann zu den Bedürfnissen der Zeit entsprechen, wurde festgestellt, dass es Zahlen gab, die nicht zu der Zahlengruppe gehörten, auf die sie sich bezog. So war es bei der Entstehung von numerische Sätze ganze Zahlen, rationale, irrationale und reelle Zahlen, und es war nicht anders, wenn die Menge der reellen Zahlen auf die der komplexen Zahlen erweitert werden musste.
Wenn wir versuchen zu lösen quadratische Gleichungen, es ist ziemlich üblich, dass wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl, die in der Menge der reellen Zahlen nicht gelöst werden kann, daher die Notwendigkeit komplexer Zahlen. Der Beginn des Studiums dieser Zahlen erhielt Beiträge von wichtigen Mathematikern wie Giralmo Cardono, aber ihr Satz wurde von Gauss und Argand formalisiert.
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algebraische Form einer komplexen Zahl
Beim Versuch, eine quadratische Gleichung wie x² = –25 zu lösen, wurde sie oft als unlösbar bezeichnet. Um jedoch zu algebrisieren, algebraische Darstellung, die es ermöglicht, mit diesen Zahlen Operationen durchzuführen, obwohl Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht berechnen können.
Um die Lösung von Situationen zu erleichtern, in denen Sie mit dem Quadratwurzel einer negativen Zahl, die imaginäre Einheit.
Wenn wir also die vorgestellte Gleichung x² = -25 analysieren, haben wir Folgendes:
Somit sind die Lösungen für die Gleichung -5ich e5ich.
Um die algebraische Form zu definieren, Brief ich, bekannt als imaginäre Einheit einer komplexen Zahl. Eine komplexe Zahl wird dargestellt durch:
z = Das + Bich
Auf was Das und B sind reelle Zahlen.
Das: Realteil, angezeigt durch a = Re (z);
B: Imaginärteil, angezeigt durch Im (z);
ich: imaginäre Einheit.
Beispiele
Das) 2 + 3ich
B) -1 + 4ich
ç) 5 – 0,2ich
d) -1 – 3ich
wenn der Realteil ist null, die Zahl ist bekannt als reine einbildung, zum Beispiel -5ich und 5ich sie sind reine Imaginationen, weil sie keinen realen Anteil haben.
Wenn der Imaginärteil null ist, ist die komplexe Zahl auch eine reelle Zahl.
Operationen mit komplexen Zahlen
Wie bei jeder numerischen Menge müssen die Operationen gut definiert, daher ist es möglich, die vier Grundoperationen komplexer Zahlen unter Berücksichtigung der vorgestellten algebraischen Form durchzuführen.
Addieren von zwei komplexen Zahlen
Um die Zusatz von zwei komplexen Zahlen z1 ez2, wir fügen den Realteil von z. hinzu1 ez2 bzw. die Summe des Imaginärteils.
Sein:
z1 = a + bich
z2 = c + dich
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ich
Beispiel 1
Realisierung der Summe von z1 und z2.
z1 = 2 + 3ich
z2 = 1 + 2ich
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ich
z1 +z2= 3 + 5ich
Beispiel 2
Realisierung der Summe von z1 und z2.
z1 = 5 – 2ich
z2 = – 3 + 2ich
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ich
z1+z2 = (5 – 3) + 0ich
z1 +z2= 3 + 0ich = 3
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Subtraktion von zwei komplexen Zahlen
Bevor wir darüber reden Subtraktion, wir müssen definieren, was das ist Inverse einer komplexen Zahl, das heißt, z = a + bich. Die Umkehrung von z, dargestellt durch –z, ist die komplexe Zahl –z = –a –bich.
Um die Subtraktion zwischen z. durchzuführen1und -z2, sowie zusätzlich werden wir die Subtraktion zwischen Realteilen und zwischen Imaginärteilen getrennt, aber es ist notwendig zu verstehen, dass -z2 es ist die Umkehrung einer komplexen Zahl, die das Vorzeichenspiel erforderlich macht.
Beispiel 1
Durchführen der Subtraktion von z1 und z2.
z1 = 2 + 3ich
z2 = 1 + 2ich
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ich
z1–z2= 1 + 1ich = 1+ ich
Beispiel 2
Durchführen der Subtraktion von z1 und z2.
z1= 5 – 2ich
z2 = – 3 + 2ich
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ich
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ich
z1 –z2= 8 + (–4)ich
z1 –z2= 8 –4ich
Imaginäre Einheitenkräfte Unit
Bevor wir über Multiplikation sprechen, müssen wir die Potenz der imaginären Einheit verstehen. Auf der Suche nach einer Methode zur Berechnung von Potenzen von ichNein, ist es notwendig zu erkennen, dass sich diese Kräfte zyklisch verhalten. Rechnen wir dazu etwas aus Potenzen im ich.
Es stellt sich heraus, dass die nächsten Kräfte nichts anderes als ihre Wiederholung sind. Beachten Sie Folgendes:
ich 4 = ich 2 · ich 2 = (–1) (–1) = 1
ich 5 = ich 2 · ich 3 = (–1) (–ich) = ich
Wenn wir die Potenzen weiter berechnen, werden die Antworten immer Elemente der Menge {1,i,–1,– sein.ich}, um dann eine Potenz der Einheit zu finden ichNein, wir teilen n (den Exponenten) durch 4, und die sich ausruhendieser Abteilung (r = { 0, 1, 2, 3}) wird der neue Exponent von ich.
Beispiel1
Berechnung von i25
Wenn wir 25 durch 4 teilen, ist der Quotient 6 und der Rest ist gleich 1. Also müssen wir:
ich 25 = ich1 = ich
Beispiel 2
Berechnung von ich 403
Wenn wir 403 durch 4 teilen, ist der Quotient 100, weil 100 · 4 = 400, und der Rest ist 3, also müssen wir:
ich 403 =ich 3 = -ich
Multiplikation komplexer Zahlen
Um die Multiplikation zweier komplexer Zahlen durchzuführen, wenden wir die Verteilungseigenschaft. Sein:
z1= a + bich
z2= c + dich, dann das Produkt:
z1 · z2 = (a + bich) (c + dich), Anwendung der Verteilungseigenschaft,
z1 · z2 = ac + adich + cbich + bdich 2, aber wie wir gesehen haben, ich ² = -1
z1 · z2 = ac + adich + cbich - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (Werbung + cb)ich
Mit dieser Formel ist es möglich, das Produkt von zwei beliebigen komplexen Zahlen zu finden, aber in a Im Allgemeinen muss es nicht dekoriert werden, da wir für die fragliche Berechnung nur die Eigenschaft verwenden apply verteilend.
Beispiel
Berechnung des Produkts von (2+3ich) (1 – 4ich):
(2+3ich) (1 – 4ich) = 2 – 8ich + 3ich– 12ich ², erinnere dich daran ich² = -1:
(2 + 3ich) (1 – 4ich) = 2 – 8ich + 3ich+ 12
(2 + 3ich) (1 – 4ich) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ich
(2+3ich) (1 – 4ich) = 14 – 5ich
Auch zugreifen: Addition, Subtraktion und Multiplikation komplexer Zahlen
Komplexe Zahl konjugiert
Bevor wir über Division sprechen, müssen wir verstehen, was die Konjugierte einer komplexen Zahl ist. Das Konzept ist einfach, um die Konjugierte einer komplexen Zahl zu finden, einfach wechselnmos das Zeichen des Imaginärteils.
Division von zwei komplexen Zahlen
Um die Division von zwei komplexen Zahlen, müssen wir den Bruch mit dem Konjugierten des Nenners multiplizieren, damit der Realteil und der Imaginärteil wohldefiniert sind.
Beispiel
Berechnung der Teilung von (6 - 4ich): (4 + 2ich)
Auch sehen: Gegenteil, Konjugation und Gleichheit komplexer Zahlen
Komplexe Ebene oder Argand-Gauss-Ebene
Bekannt als komplexer Plan oder Ein Planrg-Gauss, er erlaubt die Darstellung in geometrischer Form einer komplexen Zahl, dieser Plan ist eine Adaption im Kartesische Ebene komplexe Zahlen darzustellen. Die horizontale Achse ist bekannt als Realteilachse Re(z), und die vertikale Achse ist bekannt als Achse des Imaginärteils Im (z). Also die komplexe Zahl dargestellt durch a + bich erzeugt die Punkte in der komplexen Ebene, die durch das geordnete Paar (a, b) gebildet wird.
Beispiel
Darstellung der Zahl 3 + 2ich in der geometrischen Form Z(3,2).
Modul und Argument einer komplexen Zahl
Der Modul einer komplexen Zahl ist geometrisch der Entfernung von Punkt (a, b) was diese Zahl in der komplexen Ebene darstellt zum Ursprung, das heißt der Punkt (0,0).
Wie wir sehen können, ist |z| ist die Hypotenuse von rechtwinkliges Dreieck, daher kann es berechnet werden, indem man Satz des Pythagoras, also müssen wir:
Beispiel:
Berechnung des Moduls von z = 1 + 3ich
Ö DasStreit einer komplexen Zahl ist geometrisch die Winkel gebildet durch die horizontale Achse und die |z|
Um den Winkelwert zu finden, müssen wir:
Ziel ist es, den Winkel θ = arg z zu finden.
Beispiel:
Finden Sie das Argument der komplexen Zahl: z = 2 + 2ich:
Da a und b positiv sind, wissen wir, dass dieser Winkel im ersten Quadranten liegt, also berechnen wir |z|.
Bei Kenntnis von |z| ist es möglich, den Sinus und den Kosinus zu berechnen.
Da in diesem Fall a und b gleich 2 sind, finden wir bei der Berechnung von sinθ dieselbe Lösung für den Kosinus.
Kennen Sie die Werte von sinθ und cosθ, indem Sie die Tabelle der bemerkenswerten Winkel konsultieren und wissen, dass θ gehört zum ersten Quadranten, also kann θ in Grad oder Bogenmaß gefunden werden, also schließen wir Was:
Trigonometrische oder Polarform
Die Darstellung der komplexen Zahl im trigonometrische Form Dies ist erst möglich, nachdem wir das Konzept von Modul und Argument verstanden haben. Basierend auf dieser Darstellung werden wichtige Konzepte für das Studium komplexer Zahlen auf fortgeschrittenem Niveau entwickelt. Um die trigonometrische Darstellung durchzuführen, erinnern wir uns an ihre algebraische Form z = a + bi, aber bei der Analyse der komplexen Ebene müssen wir:
Durch Einsetzen der Werte von a = |z|. in algebraischer Form cos θ und b = |z| sen θ, wir müssen:
z = a + bich
Mit z = |z| cos + |z| sen ich, setzen |z| als Beweis erhalten wir die Formel der trigonometrischen Form:
z= |z|(cos + ich · Sünde ) |
Beispiel: Schreiben Sie in trigonometrischer Form die Zahl
Um in trigonometrischer Form zu schreiben, benötigen wir das Argument und den Modul von z.
1. Schritt – Berechnung von |z|
Wenn man |z| kennt, ist es möglich, den Wert von θ zu finden, indem man die Tabelle der bemerkenswerten Winkel konsultiert.
Es ist nun möglich, die Zahl z in ihrer trigonometrischen Form mit dem Winkel in Grad oder mit dem gemessenen Winkel im Bogenmaß zu schreiben.
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Übungen gelöst
Frage 1 - (UFRGS) Gegeben die komplexen Zahlen z1 = (2,–1) und z2 = (3, x), ist bekannt, dass das Produkt zwischen z1 und z2 ist eine reelle Zahl. Also ist x gleich:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Auflösung
Alternative D.
Damit das Produkt eine reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil gleich Null.
Indem wir diese Zahlen in algebraischer Form schreiben, müssen wir:
z1 = 2 – 1ich und z2 = 3 + xich
z1 · z2 = (2 – 1ich) (3 + xich)
z1 · z2 = 6 + 2xich –3ich - xich ²
z1 · z2 = 6 + 2xich –3ich + x
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)ich
Da unser Interesse darin besteht, dass der Imaginärteil gleich Null ist, lösen wir nach 2x – 3 = 0
Frage 2 - (UECE) Wenn i die komplexe Zahl ist, deren Quadrat gleich -1 ist, dann ist der Wert von 5ich 227 + ich 6 – ich 13 es ist das gleiche wie:
Das) ich + 1
b) 4ich –1
c) -6ich –1
d) -6ich
Auflösung
Alternative C.
Um diesen Ausdruck zu lösen, ist es notwendig, den Rest jeder der Zahlen in Division durch 4 zu finden.
227: 4 ergibt einen Quotienten von 56 und einen Rest von 3.
ich 227 = ich 3 = –ich
6: 4 ergibt Quotient 1 und Rest 2.
ich 6 = ich 2 = –1
13: 4 ergibt Quotient 3 und Rest 1.
ich 13 = ich1 = ich
Also müssen wir:
5ich 227 + ich 6 – ich 13
5 (–ich) + (–1) – ich
–5ich –1 – ich
–6ich – 1
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm