DAS Zahlenfolge, wie der Name schon sagt, ist eine Zahlenfolge und normalerweise hat ein Wiederholungsgesetz, das es ermöglicht, vorherzusagen, was die nächsten Terme sein werden Kennenlernen Ihrer Vorgänger. Wir können Zahlenfolgen mit verschiedenen Kriterien zusammenstellen, z. B. eine Folge von geraden Zahlen oder eine Folge von Zahlen durch 4 teilbar, Folge von Primzahlen, Folge vollkommener Quadrate, schließlich gibt es mehrere Möglichkeiten von Folgen numerisch.
Wenn wir die Folge nach der Anzahl der Terme ordnen, die Folge kann endlich oder unendlich sein. Wenn wir die Folge hinsichtlich des Verhaltens der Terme klassifizieren, kann diese Folge sein: aufsteigend, absteigend, oszillierend oder konstant. Es gibt Sonderfälle von Folgen, die als arithmetische Folgen und geometrische Folgen bekannt sind.
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Nummernkreiszusammenfassung
Die Zahlenfolge ist nichts anderes als eine Zahlenfolge.
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Einige Beispiele für Zahlenfolgen:
Folge gerader Zahlen (0,2,4,6,8…);
Folge von natürlichen Personen weniger als 6 (1, 2, 3, 4, 5);
Folge von Primzahlen (2,3,5,7,11,…).
Das Gesetz der Bildung einer Progression ist die Regel, die diese Sequenz regelt.
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Eine Folge kann endlich oder unendlich sein.
Endlich: wenn Sie eine begrenzte Anzahl von Begriffen haben.
Unendlich: Wenn Sie eine unbegrenzte Anzahl von Begriffen haben.
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Eine Sequenz kann ansteigend, ungläubig, konstant oder fluktuierend sein.
Halbmond: wenn der Begriff immer kleiner ist als sein Nachfolger.
Absteigend: wenn der Begriff immer größer ist als sein Nachfolger.
Konstante: wenn der Begriff immer gleich seinem Nachfolger ist.
Oszillierend: wenn es Terme gibt, die größer und kleiner sind als sein Nachfolger.
Es gibt spezielle Fälle von Folgen, die als arithmetische Progression oder geometrische Progression bekannt sind.
Gesetz des Vorkommens der Zahlenfolge
Wir kennen als Zahlenfolge jede durch Zahlen gebildete Folge. Wir demonstrieren Sequenzen normalerweise, indem wir ihre Begriffe auflisten, in Klammern eingeschlossen und durch ein Komma getrennt. Diese Liste ist als Gesetz des Auftretens einer Zahlenfolge bekannt.
(Das1, ein2, ein3, …, einNein)
Das1 → 1. Glied der Folge
Das2 → 2. Glied der Folge
Das3 → 3. Term der Folge
DasNein → n-ter Term der Folge
Schauen wir uns unten einige Beispiele an.
Beispiel 1:
Gesetz des Vorkommens der Zahlenfolge Vielfaches von 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Beispiel 2:
Vorkommensgesetz der Folge von Primzahlen:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Beispiel 3:
Gesetz des Auftretens von ganze Negativ:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Beispiel 4:
Folge ungerader Zahlen kleiner als 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
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Numerische Sequenzklassifikation
Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Zeichenfolge zu klassifizieren. Der erste ist was die menge der termine angeht, wie eine Folge endlich oder unendlich sein kann. Die andere Möglichkeit, Sequenzen zu klassifizieren, ist was ihr Verhalten angeht. In diesem Fall werden sie als steigend, fallend, konstant oder fluktuierend klassifiziert.
Klassifizierung nach der Anzahl der Begriffe
→ endliche Zahlenfolge
Die Folge ist endlich, wenn sie hat eine begrenzte Anzahl von Begriffen.
Beispiele:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ unendliche Zahlenfolge
Die Folge ist unendlich, wenn sie eine unbegrenzte Anzahl von Termen hat.
Beispiele:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Verhaltensbewertung
→ Aufsteigende Zahlenfolge
Eine Sequenz ist aufsteigend wenn ein Begriff immer kleiner ist als sein Nachfolger der Reihe nach.
Beispiele:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Absteigende Zahlenfolge
Eine Sequenz ist absteigend wenn ein Begriff immer größer ist als sein Nachfolger der Reihe nach.
Beispiele:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ konstante Zahlenfolge
Eine Folge ist konstant, wenn alle Terme in der Sequenz sind gleich:
Beispiele:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oszillierende Zahlenfolge
Eine Sequenz schwingt wenn es Terme gibt, die größer und Terme sind, die kleiner sind dass ihre jeweiligen Nachfolger in der Reihenfolge:
Beispiele:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Gesetz zur Bildung von Zahlenfolgen
Einige Sequenzen können beschrieben werden durch a Formel, die Ihre Begriffe generiert. Diese Formel ist als Bildungsgesetz bekannt. Wir verwenden das Bildungsgesetz, um einen beliebigen Term in der Folge zu finden, wenn wir sein Verhalten kennen.
Beispiel 1:
Die folgende Sequenz wird gebildet durch perfekte Quadrate:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Wir können diese Folge durch das Bildungsgesetz beschreiben:
DasNein = (n – 1)²
n → Termnummer
DasNein → der Positionsbegriff Nein
Mit dieser Formel ist es beispielsweise möglich, den Begriff zu kennen, der die Position Nummer 10 in der Reihenfolge einnimmt:
Das10 = ( 10 – 1) ²
Das10 = 9²
Das10 = 81
Beispiel 2:
Nennen Sie die Terme der Folge, deren Entstehungsgesetz das. istNein = 2n – 5.
Zum Auflisten finden wir die ersten Begriffe in der Reihenfolge:
1. Begriff:
DasNein = 2n - 5
Das1 = 2·1 – 5
Das1 = 2 – 5
Das1 = – 3
2. Amtszeit:
DasNein = 2n - 5
Das2 = 2·2 – 5
Das2 = 4 – 5
Das2 = – 1
3. Begriff:
DasNein = 2n - 5
Das3 = 2·3 – 5
Das3 = 6 – 5
Das3 = 1
4. Amtszeit:
DasNein = 2n - 5
Das4 = 2·4 – 5
Das4 = 8 – 5
Das4 = 3
5. Amtszeit:
Das5 = 2n - 5
Das5 = 2·5 – 5
Das5 = 10 – 5
Das5 = 5
Die Reihenfolge ist also:
(– 1, 1, 3, 5 … )
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Arithmetische Progression und geometrische Progression
Sie existieren Sonderfälle von Folgen die als arithmetische Progression und geometrische Progression bekannt sind. Eine Sequenz ist eine Progression, wenn es einen Grund für einen Begriff für seinen Nachfolger gibt.
arithmetische Progression
Wenn wir den ersten Term in der Folge kennen und, um den zweiten zu finden,Wir fügen hinzu der erste zu einem Wert r und um den dritten Term zu finden, addieren wir den zweiten zu diesem Wert. r, und so weiter, wird die Zeichenfolge als a. klassifiziert arithmetische Progression.
Beispiel:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Dies ist eine arithmetische Folge des Verhältnisses gleich 4 und des ersten Termes gleich 1.
Beachten Sie, dass Sie, um den Nachfolger einer Zahl in der Folge zu finden, einfach 4 addieren, also sagen wir, dass 4 der Grund für diese arithmetische Progression ist.
Geometrischer Verlauf
Beim geometrischer Verlauf, es gibt auch einen Grund, aber in diesem Fall um den Nachfolger eines Termes zu finden, müssen wir den Term mit dem Verhältnis multiplizieren.
Beispiel:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Dies ist eine geometrische Progression des Verhältnisses gleich 3 und des ersten Termes gleich 2.
Beachten Sie, dass Sie, um den Nachfolger einer Zahl in dieser Folge zu finden, einfach mit 3 multiplizieren, wodurch das Verhältnis dieser geometrischen Folge zu 3 wird.
Übungen gelöstüber Zahlenfolge
Frage 1 - Wenn wir die Folge (1, 4, 9, 16, 25, … ) analysieren, können wir sagen, dass die nächsten beiden Zahlen sein werden:
A) 35 und 46.
B) 36 und 49.
C) 30 und 41.
D) 41 und 66.
Auflösung
Alternative B.
Um die Terme der Folge zu finden, ist es wichtig, eine Regelmäßigkeit in der Folge zu finden, d. h. ihr Vorkommensgesetz zu verstehen. Beachten Sie, dass wir vom ersten Term zum zweiten Term 3 hinzufügen; vom zweiten zum dritten Term addieren wir 5; vom dritten zum vierten Term und vom vierten zum fünften Term addieren wir 7 bzw. 9, also erhöht sich die Summe um zwei Einheiten zu jedem Term der Folge, d. h. im nächsten addieren wir 11, dann 13, dann 15, dann 17 und so weiter nacheinander. Um den Nachfolger von 25 zu finden, fügen wir 11 hinzu.
25 + 11 = 36.
Um den Nachfolger von 36 zu finden, fügen wir 13 hinzu.
36 + 13 = 49
Die nächsten Terme sind also 36 und 49.
Frage 2 - (AOCP Institute) Als nächstes wird eine Zahlenfolge präsentiert, so dass die Elemente dieser Folge nach einem (logischen) Bildungsgesetz angeordnet, wobei x und y ganze Zahlen sind: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Wenn Sie diese Folge beobachten und die Werte von x und y finden, ist es gemäß dem Bildungsgesetz der gegebenen Folge richtig zu sagen, dass
A) x ist eine Zahl größer als 30.
B) y ist eine Zahl kleiner als 5.
C) die Summe von x und y ergibt 25.
D) das Produkt von x und y ergibt 106.
E) die Differenz zwischen y und x ist in dieser Reihenfolge eine positive Zahl.
Auflösung
Alternative C.
Wir wollen den 7. und 8. Term dieser Folge finden.
Analysiert man das Gesetz des Auftretens der Folge (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), kann man sehen, dass es eine Logik für die ungeraden Terme (1. Term, 3. Term, 5. Term … ). Beachten Sie, dass der 3. Term gleich dem 1. Term minus 2 ist, da 24 – 2 = 22. Nach derselben Logik ist der 7. Term, dargestellt durch x, der 5. Term minus 2, d. h. x = 20 – 2 = 18.
Eine ähnliche Logik gilt für die geraden Terme (2. Term, 4. Term, 6. Term…): der 4. Term ist der 2. Term minus 2, da 13 – 2 = 11 und so weiter. Wir wollen den 8. Term, dargestellt durch y, der der 6. Term minus 2 ist, also y = 9 – 2 = 7.
Wir haben also x = 18 und y = 7. Wenn wir die Alternativen analysieren, haben wir x + y = 25, d. h. die Summe von x und y ergibt 25.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm